不等式复习导航

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不等式是中学数学的重要内容.它千姿百态,可以渗透到中学数学的很多方面,是解决其他数学问题的有力工具,再加上它在实际问题中的广泛应用,决定了它将是永不衰退的命题热点.

[HTH]一、命题展望[HT]

联系近几年全国各地高考数学不等式试题的特征,展望2012年高考,在客观题中将主要考查不等式的性质、简单不等式的解法、不等式恒成立时求参数的取值范围、应用基本不等式求函数的最值等．在解答题中，解不等式、证明不等式、讨论含参数不等式等内容将会与函数、数列、导数等知识结合在一起考查．不等式与函数、方程、数列、应用性问题、解析几何等问题综合起来，考查等价转化等数学思想和方法，将成为经久不衰的热点．

解不等式是高考考查的一个主要内容，也是高考复习的重点．从近几年来的高考试题来看，解不等式开始从单纯考查一个不等式的解法慢慢过渡到考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．大致有以下类型：用抽象函数作背景解不等式，用图、表作背景解不等式，用分段函数作背景解不等式，用导数作背景解不等式，用向量作背景解不等式；用“新定义”作背景解不等式．

不等式的证明问题往往以数列、函数、导数、解析几何等知识为载体，考查不等式证明的掌握情况，尤其是数列中的不等式证明已成为目前高考的一个热点，它常常被设置成压轴题．而对证明不等式的技巧要求并不高，只需掌握比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法等基本方法即可，也可以利用导数来证明某些不等式．不等式的应用问题，主要考查利用重要不等式求最值等．

[HTH]二、易混提醒[HT]

复习不等式这部分内容请同学们注意以下三个易混点：恒成立问题，能成立问题，恰成立问题.

1.恒成立问题[WTBX]

若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最小值大于A；

若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最大值小于B.

其中，最大值和最小值也可以是函数f（x）的极限值或者是它的上确界和下确界，同时应注意考虑端点值的情况．

2.能成立问题

若在区间D上存在实数，使不等式f（x）＞A成立，即f（x）＞A在区间D上能成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最大值大于A；

若在区间D上存在实数，使不等式f（x）＜B成立，即f（x）＜B在区间D上能成立，则等价于函数f（x）在区间D上的最小值小于B.

3.恰成立问题

若不等式f（x）＞A在区间D上恰成立，则等价于不等式f（x）＞A的解集为D；

若不等式f（x）＜B在区间D上恰成立，则等价于不等式f（x）＜B的解集为D．

[HTH]三、考点例析[HT]

1.不等式的性质

[HTH]例1[HT][HTK] （2011年浙江卷）[HT]若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜[SX(]1[]b[SX)]”或b＞[SX(]1[]a[SX)]的（ ）.

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

[HTH]解[HT]： 0＜ab＜1, a,b同号.

当a,b同为正号时，可得a＜1b；

当a,b同为负号时，可得b＞1a.

因此0＜ab＜1a＜1b或b＞1a.

反之，由a＜1b，得a－1b＜0，即ab－1b＜0，亦即b＞0，ab＜1，或b＜0，ab＞1.

同理，由b＞1a，得a＞0，ab＜1或a＜0，ab＞1.

因此a＜1b或b＞1a[KG-*3/4]/[KG*2]0＜ab＜1.故选A.

评析：不等式的性质与充要条件的判断相结合是历年高考的热点，同学们必须牢固掌握.

2.求参数的值或范围

[HTH]例2[HT][HTK] （2011年全国卷Ⅰ）[HT]设函数f(x)=|x－a|+3x,其中a＞0.若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.

[JP3][HTH]解[HT]：f(x)≤0|x－a|+3x≤0x≥a,x－a+3x≤0 或x≤a,a－x+3x≤0,即 x≥a,x≤a4或x≤a,x≤－a2.[JP]

[JP3]因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}.[JP]

由题设可得－a2= －1，故a=2.

[HTH]例3[HT][HTK] （2011年湖北卷）[HT]已知向量[WTHX]a[WTBX]=（x+z,3）,[WTHX]b[WTBX]=（2,y－z），且[WTHX]ab[WTBX].若x,y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为( ).

[TPSX4.tif,Y][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]

（A）[-2，2]

（B）[-2，3]

（C）[-3，2]

（D）[-3，3]

[HTH]解[HT]：由[WTHX]ab[WTBX]得z=2x+3y，而|x|+|y|≤1表示的区域如图1中的阴影部分所示，当目标函数z=2x+3y过点（0，-1）和（0,1）时，分别取最小值和最大值，所以zmin=－3,zmax=3.故选D.

[HTH]评析[HT]：高考中线性规划是常考点，一般要求较低，这是一个得分点．关于线性规划问题，首先要弄清有关量的几何意义，其次还要掌握看图的技巧．看图主要是看动直线与边界直线的位置关系．理解以下结论有助于准确地识图：直线斜率的绝对值越大，则直线越陡，越靠近y轴．

3.不等式的解法

[HTH]例4[HT][HTK] （2011年江西卷）[HT]对于x∈[WTHZ]R[WTBX]，不等式|x+10|－|x－2|≥8的解集为.

[HTH]解[HT]：由绝对值的几何意义知，|x+10|－|x－2|≥8可以看成到两点“-10”和“2”的距离之差大于等于8的所有点的集合.画出数轴，找到点“0”到点“-10”的距离为d1=10，点“0”到点“2”的距离为d2=2，d1－d2=8，并且当x往右移动时，距离之差会大于8，所以满足条件的x的范围是x≥0.

[HTH]评析[HT]：本题也可用数形结合法或找绝对值零点分区间讨论法求解.

[HTH]例5[HT][HTK] （2011年辽宁卷）[HT]函数f(x)的定义域为[WTHZ]R[WTBX]，f（－1）=2，对任意x∈[WTHZ]R[WTBX]，f [KG-*5]′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为( ).

（A）(-1,1) [WB](B)(-1，+∞)

(C)(-∞,-1) [DW](D)(-∞,+∞)

[HTH]解[HT]：本题f(x)的解析式不确定，若注意到f(x)＞2x+4的结构及f [KG-*5]′(x)＞2，则不妨构造函数h（x）=f（x）－（2x+4）一试.

设h（x）=f（x）－（2x+4），

则h′（x）=f [KG-*5]′(x)－2＞0，

故h（x）在[WTHZ]R[WTBX]上单调递增.又h（－1）=f（－1）－2=0，所以，当h（x）＞0时，x＞－1，即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+∞).故选B.

[HTH]评析[HT]：本题这种解法运用整体思想，优化整体为局部，再由局部的解决使问题得解.

4.应用不等式求函数的最值

[HTH]例6[HT][HTK] （2011年湖南卷）[HT]设x,y∈[WTHZ]R[WTBX],则(x2+1y2)(1x2+4y2)的最小值为.

[HTH]解[HT]：由柯西不等式可知，(x2+1y2)(1x2+4y2)≥（x•1x+1y•2y）2=(1+2)2=9,当且仅当2xy=1xy，即x2y2=12时取等号.故所求最小值为9.

[HTH]评析[HT]：本题也可运用基本不等式求最值,但必须注意变量满足的三个条件“一正,二定,三相等”.解题的关键是凑出定值.

5.不等式的实际应用

[HTH]例7[HT][HTK] (2011年北京卷)[HT]某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ).

（A）60件 [DW](B)80件

（C）100件 [DW]（D）120件

[HTH]解[HT]：由题意得平均每件产品的生产准备费用为800x元，仓储费用为x8元.

所以平均到每件产品的两费用之和为800x+x8≥2800x•x8=20，当且仅当800x=x8，即x=80时等号成立.故选B.

[HTH]评析[HT]:不等式的实际应用题大都以函数的面目出现,以最优化形式展现,在解题的过程中涉及均值不等式.

[HTH]例8[HT][HTK] （2011年四川卷）[HT]某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( ).

[HJ1.4mm]

（A）4650元 [DW]（B）4700元

（C）4900元 [DW]（D）5000元

[TPSX5.tif,BP][TS(1][JZ][HT6H]图2[TS)][HT]

[HTH]解[HT]：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则利润z=450x+350y.

由题意可知,0≤x≤8，0≤y≤7，0≤x+y≤12，10x+6y≥72，0≤2x+y≤19，x∈[WTHZ]N[WTBZ],y∈[WTHZ]N[WTBX]，作出如图2所示的可行域.

当目标函数过直线2x+y=19与x+y=12的交点A（7,5）时取得最大利润.将x=7，y=5代入目标函数得zmax=4900.故选C.

6.不等式的证明

[HTH]例9[HT][HTK] （2011年安徽卷）[HT]（1）设x≥1,y≥1,证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy；

（2）1≤a≤b≤c，证明：logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

[HTH]证明[HT]：（1） x≥1,y≥1， x+y+1xy≤1x+1y+xyxy（x+y）+1≤y+x+（xy）2.

将上式中的右式减左式得

［y+x+（xy）2］－［xy（x+y）+1］

=（xy+1）（xy－1）－（x+y）（xy－1）

=（xy－1）（xy－x－y+1）

=（xy－1）（x－1）（y－1）.

因为x≥1,y≥1,

所以（xy－1）（x－1）（y－1）≥0.

从而所证不等式成立.

（2）设logab=x,logbc=y，由对数换底公式知，

logca=1xy,logba=1x,logcb=1y,logac=xy.

于是，所要证明的不等式即为x+y+1xy≤1x+1y+xy，其中x=logab≥1,y=logbc≥1.

故由（1）知,所要证明的不等式成立.

[HTH]评析[HT]：不等式的证明是高中代数的一个难点.由于证明不等式形式多样,方法灵活,这就要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明.

[HTH]例10[HT][HTK] （2011年重庆卷）[HT]设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈[WTHZ]N[WTBX]）.求证：对k≥3有0≤ak+1≤ak≤43.

[HTH]证明[HT]：由题设知，Sn+an+1=an+1Sn，故Sn≠1,an+1≠1且an+1=SnSn－1,Sn=an+1an+1－1,

从而对k≥3，有ak=Sk－1Sk－1－1=ak－1+Sk－2ak－1+Sk－2－1

=ak－1+ak－1ak－1－1ak－1+ak－1ak－1－1－1

=a2k－1a2k－1－ak－1+1. [JY]①

a2k－1－ak－1+1=（ak－1－12）2+34＞0且a2k－1≥0，由①知，ak≥0.

要证ak≤43，由①只要证a2k－1a2k－1－ak－1+1≤43，

即证3a2k－1≤4（a2k－1－ak－1+1），

即（ak－1－2）2≥0.此式显然成立.

因此ak≤43（k≥3）.

最后证ak+1≤ak，若不然ak+1=a2ka2k－ak+1＞ak，

又因为ak≥0，故aka2k－ak+1＞1，

即（ak－1）2＜0，矛盾.

因此ak+1≤ak（k≥3）.

[HTH]评析[HT]：本题结合数列考查不等式的证明及综合运用知识分析问题和解决问题的能力.证明的入口较宽,可以运用不同的知识、从不同的角度证明不等式,但要注意对题目中各种信息的检索、提取、选择和运用.

[HTH]四、备考建议

1.正确把握课标对不等式的考查要求.在选修的不等式选讲部分，《普通高中数学课程标准(实验)》（以下简称课标）对各知识点有明确的要求，不宜盲目地加大难度，应按照课标和考纲的要求适度把握．在必修与必选部分，知识点上的要求主要有不等式的性质、一元二次不等式、基本不等式及线性规划．线性规划具有一定的独立性，而不等式的性质、一元二次不等式、基本不等式不仅本身的变化较多，并且较容易与其他知识综合作为高考考查能力的载体．因此，这一部分是复习的重点，需要特别关注．

2.注意线性规划问题.线性规划问题也是高考试题中常出现的一类问题，因为线性规划问题能够和实际问题相联系，所以受到命题者的青睐.复习这一部分内容，一定要练好基本功：会准确迅速地画二元一次不等式的区域，还要注意题目的变化，如含参数的线性规划问题以及用解决线性规划问题的方法解决其他问题．

3.加强解含参数不等式的能力训练.含参数不等式的解题训练关键是弄清解含参数的一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式等的基本方法与思路，即按照常系数不等式的程序和步骤来解，当遇到不确定因素时，分类讨论，或者整体上进行等价转化，或者利用数形结合的方法来解决．而分类讨论的标准源于不确定因素，常见的因素有二次函数图象的开口方向、判别式的符号、函数零点的大小、指数函数和对数函数底数的范围、函数的定义域和不等变形时的符号等．

4.掌握不等式证明的基本方法与常见的放缩技巧.高考中有关不等式的证明问题，其证法多为基本的求差比较、求商比较、利用函数单调性，或为常规的放缩，用数学归纳法证明不等式是在归纳的基础上再利用上述基本方法来证明．要掌握这些基本的证法和基本的放缩技巧．