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初中数学教育是实施素质教育的重要阶段,而落实素质教育的核心之一,就是学生思维能力的培养.作为一名初中数学教师,怎样实施对学生的思维有目的、有计划地进行培养,是值得我们研究、探讨的一个问题,下面就此问题浅谈几点拙见.
一、从实践到认识,培养思维的逻辑性
数学的课堂教学可以说是一种“沟通、理解和创新”的过程,因此要从一些具体、基本、特殊的问题入手,通过自己亲手操作实践,过渡到一般情况后,再进行观察分析、综合归纳,这样就会得出规律性知识,乃至成为定理的结论.
例如,在复习三角形、平行四边形、梯形面积时,要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长,这时变成什么图形?与梯形面积有什么关系?如果把梯形上底缩短为0,这时又变成了什么图形?与梯形面积有什么关系?问题的提出把学生逻辑思维的闸门打开了:三角形可以看作上底为0的梯形,平行四边形可以看作是上底和下底相等的梯形.这样拓宽了学生思维的空间,培养了学生想象思维的能力,从而培养学生的逻辑思维.
二、利用分类思想,培养思维的完整性
例1 已知实数a、b满足a2=7a-2,b2=7b-2,求a1b+b1a 的值.
误解:a、b是方程a2-7a+2=0,b2-7b+2=0的二根,
因为a+b=7,ab=2,所以a1b+ b1a= (a+b)2-2ab1ab=49-412=22.5.
正解:(1)当a≠b时,解法同上.(2)当a=b时, a1b+b1a=2.
评注:解答问题时,在考虑一般情况的同时,特别要对特殊数值、点加以验证.进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,其中最重要的一条是“不漏不重”.
三、通过变式训练,培养思维的灵活性
在已知条件下或已知图形下,进行适当变换(变图形、变结论、变形式等),引导学生克服思维定势,积极开拓发散思维途径,体会解题的奥妙,培养学生思维的灵活性和创新意识.
例2如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
探究1:在旋转过程中,(1)如图2,当CE1EA=1时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.
(2)如图3,当CE1EA=2时EP与EQ满足怎样的数量关系?并说明理由.
(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当CE1EA=m时,EP与EQ满足的数量关系式为,其中m的取值范围是(直接写出结论,不必证明)
探究2:若AC=30 cm,连结PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:
(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.
(2)随着S取不同的值,对应EPQ的个数有哪些变化?直接写出相应S值的取值范围.
图1图2图3评注:引导学生通过对问题进行灵活变换,挖掘出它们之间的内在联系,开拓了解题思路,使学生分析问题和解决问题的能力得到了提高.这样的探究过程给学生以强烈的新鲜感,学生的发散思维能力得到有效的培养.
四、探索一题多解,培养思维的创造性
根据题目的已知条件和结论,探索解决问题的多种途径,学会问题转化的多种方法、技巧,拓宽思路、开阔视野,进而激发学生探索问题解决的情趣,培养学生的思维创造力,从而体会“学无止境”的内涵.
例3 等腰三角形底边上任一点,到两腰的距离和等于腰上的高.
已知:如图4,ABC中,AB=AC,PDPC,PEAB,CFAB,求证:PD+PE=CF.
图4探索1:(分解法)添加辅助线,构成矩形和三角形,图4(1).
截取FG=PE,连结PG,证PGCF,再证 PGC≌PDC.
探索2:(合成法)如图4(2),延长EP到G,使PG=PD,连结CG;证PCD≌PCG,再证EFCG是矩形.
探索3: 构造平行四边形和三角形.图4(3)过B作BG∥AC,交DP延长线于G,过G作GM∥BC交AC延长线于M.先证RtDGM≌RtCBF,再证RtBGP≌RtBEP.
探索4:利用三角形面积,如图4(5).
连结AP,因为SABP=AB×EP12, SACP=AC×DP12, SABC=AB×CF12 ,又SABP+ SACP=SABC,AB=AC.
所以AB×EP12+ AC×DP12= AB×CF12,即PD+PE=CF.
探索5:利用三角函数,如图4(1)设∠ABC=α,∠ACB=β,在直角三角形FBC中,FC=BCsinα,在RtBGP中,
GP=BPsinα,在RtPCD中,PD=PCsinβ,因为AB=AC, α=β,
所以PG+PD=BPsinα+PCsinβ=(BP+PC)sinα=BCsinα=FC.
即:PG+PD=FC.
评注:布鲁纳的认知――结论理论,就是要学生多角度、创造性地思考问题,这样会使思维深入,理解更透彻,运用更灵活.通过一题多解,培养学生多渠道、多角度思考问题,既可以提高学生的发散思维能力,又可以培养学生的创新能力,从而激发学生的学习兴趣.
五、利用错例辨析,培养思维的批判性
例4已知:方程x2+5x+1=0的二根为a、b,求a1b+b1a的值.
误解:因为a+b=-5,ab=1.
所以a1b+b1a=ab1b+ab1a=bab1ab+aab1ab=(a+b)ab1ab=-5×1=-5.
正解:因为a+b=-5,ab=1.所以a
评注:教师要引导学生对解题作出进一步审视,看解题过程是否混淆概念,是否忽视了隐含条件,是否以偏概全,是否忽视特例,逻辑是否严密等等,从而提高学生纠错能力.
总之,教师要用创造性的教唤起学生创造性的学,用创造性的思维方法锻炼学生的创造性的思维品质.充分发挥数学的学科优势,人贵在创造,创造思维是创造力的核心在指导学生解题的过程中,引导学生换一种看问题的角度,换一种思考问题的空间,换一种解决问题的方法,激起创新的萌芽.让我们共同从课堂做起,使数学学科真正成为培育学生创新意识的一片沃土.
参考文献:
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[3]胡宽民.浅析初中数学教学法[M].中学课程辅导・教学研究,2009.4.
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