高中数学应用题的常见类型及模型

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一、应用型试题的特点

1问题内容丰富

问题背景包含构成生活事实和科技实例必不可少的背景信息，也包含构成新情景问题的条件和关系等信息，问题内容充实丰富.

2试题具有浓厚的生活气息和人文精神

应用题的性质决定了学生的解题具有实用性、实践性，可以有效地缩短课本知识和实际生活的距离，使学生感到所学的知识与实际生活是紧密相关的，体现了人与社会、人与自然的关系，熏陶了学生的科学精神和人文精神.

3试题的内容回归学生的生活世界

学生生活在现实的生活世界之中，教育要对学生的生活产生影响，就需要关注现实生活，应用题使学生具有强烈的现实感和生活感.

4应用题以材料新、情景新、问题新的特点凸显对数学能力的考查

应用题的选材广泛，情境多样，对学生数学能力的考查超越了课本的知识架构，更突出其对应用意识的关注.

5试题背景设置体现公平性

应用题背景的设置要求与学生的阅读理解水平相一致，注重学生理解问题层面的公平性.命题时充分考虑城乡差异、地区差异等.

二、应用型试题常见类型及模型解决策略

我们通常把来源于客观世界的实际且具有实际意义或实际背景的、要求通过数学建模方法将数学问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题称为数学应用题.数学应用题与纯数学题的区别在于其问题情境，数学应用题一般是通过语言文字（必要时附带图表信息）来向解题者呈现其问题情境的，而且这样的问题情境不仅可以包含数学概念、方法或结果，更直观的是包含了非数学领域中的各种对象、事件及其关系，即所谓应用背景，应用背景是应用题赖于存在的“土壤”，也是应用题特征的直接反映.应用背景一般来自于非数学领域，一般是实际背景或真实背景，也可以指非数学学科的问题背景.

应用题建模的基本过程包括：(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题.(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构.（尽量用简单的数学工具）(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）.(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程.(7)模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异.

简单地说，其步骤是：实际问题――抽象概括――数学模型――解模――还原说明――实际问题的解决――实际问题.

近几年高考中应用题所占分值越来越多，考试比重也在不断增加.应用型试题以立意新、情景热、情景实、考查点丰富、设问巧的特点出现在高考试卷中，虽然整体难度不大，但考生得分率较低，究其原因，是对应用问题的实际背景数学化的能力不够，不会转化应用问题，建立相应的数学模型.这与新课改强化数学应用意识，突出数学建模能力的要求不符，随着新课改对高中生数学应用意识要求的提高，应用题将会在今后的高考中占有不可忽视的地位.

应用型问题的求解关键要注意两个方面：其一，是学生对试题的阅读理解能力（这里就涉及数学阅读能力、数学抽象能力、转化能力）.其二，是从实际问题中通过抽象、概括和必要的逻辑推理建立模型的能力.

三、小结

高中数学应用题强调数学跟外界的联系.数学建模解应用题的关键是：正确阅读、理解题意，建立数学模型，解模并回答.而建模能力是解应用题的关键，因而必须让学生多接触社会，多了解一些与数学有关的社会现象.这就要求学生用数学的眼光去发现生活，不失时机地把课堂上的数学知识延伸到实际生活中.针对数学应用题，张景中先生指出，“数学家不喜欢含含糊糊的问题.先要把问题理清楚，把现实的问题化为纯数学的问题.这叫做数学建模.”这就是说要将问题进行“数学化”，或者说进行“量化”.对于遇到的应用题，要根据具体的背景知识，对实际问题进行转化，借助常见的数学模型，将问题转化为用数学可解的模型.另外，这种类型的试题使学生充分认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，让这种意识融入学生的头脑中，化为信念，成为学生学习数学和应用数学的动力.

【参考文献】

［1］庄美金.社会应用题――高考命题新视觉［J］.内蒙古师范大学学报，2007（8）.

［2］郑志培.如何培养数学应用意识［J］.数学通报，2005（6）.