分类例论不等式恒成立问题的解题策略
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不等式恒成立问题是考生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，是高考数学命题的热点和难点，通常作为试卷的压轴题出现。下面就数列不等式恒成立问题的解题策略作以阐述，以期与大家交流与探讨。
策略一、数列是特殊的函数，因此可用函数思想解决数列不等式恒成立问题，但是由于数列图象是其对应函数图象上的一些孤立的点，因此用函数思想解决数列问题时应该特别注意数列中自变量取正整数这一特殊性质。
例1cn=(2n+1)a2n+1lga,其中a>0且a≠1，如果数列{cn}中的每一项恒小于它后面的项，求实数a的取值范围。（2008年湖北压轴题改编）
思路分析：函数思想解决含参的数列不等式恒成立问题，关键在于通过灵活转化，构造合理的函数。由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度就不同。cn
观察发现：不等式两边都有公因式lga与a2n+1，可以对不等式进行等价转化，然后利用最值法解决。但是由于lga有正由负，需要进行分类讨论。
(1)0(2n+3)a2n+3对任意的n∈N恒成立，即2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立，接下来关键是构造什么函数。
转化一：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立等价于a2
转化二：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0对任意的n∈N恒成立，设f(n)=(2n+3)a2－(2n+1)，则f(n+1)－f(n)=2a2－2
转化三：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0对任意的n∈N恒成立，设f(x)=(2x+3)a2－(2x+1)=(2a2－2)x+3a2－2则f′(x)=2a2－2
(2)若a>1，则lga>0，显然(2n+1)a2n+1
综上所述a∈[JB((]0,155[JB))]∪(1,+∞)。
“分离变量法”仅是用函数思想解决不等式恒成立问题的过程中对不等式进行等价转化的一个变形技巧，它的作用主要在于求函数最值时避免分类讨论。
策略二、善于运用合情推理
“先猜后证，特值引路”，即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件，在证明其具有充分性。这种方法在最近几年的高考试卷多次出现，随着新课改的深入，高考对猜想能力的考查将日趋加强。
例2（2010年全国卷Ⅰ22）已知数列{an}中，a1=sn+1=c-1[]an。
（Ⅰ）略。（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围。
分析：第（Ⅱ）较难，需要运用先猜后证。先由特值引路，因为ana1=1，由此解得c>2,下面只要证明再用数学归纳法证明“当c>2时，an
用数学归纳法证明：当c>2时，an
（ⅰ）当n=1时，a2=c－1a1>a1，命题成立；
（ⅱ）设当n=k时，ak
ak+2=c－1ak+1>c－1ak=ak+1
故由（ⅰ），（ⅱ）知，当c>2时，an
另一方面，由an
f(3)≥0，
Δ=c2－4>0，即c
9－3c+1≥0，
c>2，解之得c≤103。综上所述两个方面可知，所求c的取值范围为2,103。
接下来只要证明c∈2,103时不等式an
因为当c∈2,103时，an+1an
通过一题多解，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。增强思维的灵活性、变通性、创造性。但哈家定先生说：“立足通法，析取巧法，力争好法，排除误法。”这是我们面对多种解法所持的态度，因此引导学生应从多种解法的对比中优选最佳解法。
（作者单位：江苏省沭阳高级中学）