“数字信号处理”中采样定理的教学探索

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摘要：采样定理是“数字信号处理”中的教学难点之一，学生在学习这个定理时往往难以真正理解和掌握。根据多年的教学实践探索，对采样定理的教学方法有了一些心得，并在实践中取得了一定的效果。

关键词：数字信号处理；采样定理；MATLAB

作者简介：贾中云（1964-），男，浙江桐乡人，杭州师范大学信息科学与工程学院，讲师；李秀梅（1978-），女，山东济宁人，杭州师范大学信息科学与工程学院，讲师。（浙江?杭州?310036）

中图分类号：G642.0?????文献标识码：A?????文章编号：1007-0079（2012）29-0052-02

“数字信号处理”作为电子信息类专业一门重要的专业基础课程，随着数字化和信息化的迅速发展，其地位日益重要。“数字信号处理”这门课程主要学习离散时间信号及系统的时域和频域分析、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、IIR滤波器和FIR滤波器两大数字滤波器的设计及数字滤波器网络结构等内容，概念重要但又非常抽象，用到的数学公式比较多，还有大量的数学推导。“数字信号处理”又是一门实践性非常强的课程，它所涉及的概念、理论对实际的数字信号处理有着非常重要的指导意义。而学生在学习这门课程时，普遍感到数字信号处理的概念抽象，对其中的分析方法与基本理论不能很好地理解与掌握，难以把基本概念与理论正确地运用到实际的数字信号处理中。本文根据多年的数字信号处理教学实践，对其中的采样定理教学方法进行探索。

一、采样定理

采样定理是“数字信号处理”中的一个重要定理，它描述了模拟信号转换成数字信号时所要满足的信号频率和采样频率之间的关系。在教材中，[1]采样定理是通过理想采样后信号的频谱推导得到，描述并不复杂，记住这个定理也很容易。但在教学实践中发现真正理解这个定理意义的学生却很少。

信号经过理想采样后的频谱与原模拟信号的频谱的关系为：

也就是说，一个时域连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率为间隔而重复，即频谱产生周期延拓，只要各延拓分量与原信号频谱不发生频率上的交叠，就有可能恢复出原信号。因此，采样定理的叙述为：[1]

一是对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性延拓形成的。

二是设连续信号属带限信号，最高截止频率为，如果采样角频率，那么让采样信号通过一个增益为T，截止频率为的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。否则Ωs

从以上叙述可以看出，采样定理实际上就是要求采样频率fs≥ 2fc，否则就会发生频率混叠。

在教材[1]中对采样定理描述的示意图如图1所示，图中（a）为原模拟信号的频谱，信号的最高频率为Ωc。而图（b）为理想采样的频谱，它是以Ωs为周期的周期延拓。图（c）和图（d）是采样信号的频谱，从这个图中可以看出，采样信号的频谱也是以Ωs为周期进行周期延拓的。在图（c）中，由于Ωs≥2Ωc，没有发生频谱的混叠，原模拟信号的频谱采样得到了完整的保留，在一个周期内的频谱和模拟信号的频谱一致；而在图（d）中，由于Ωs

二、有关“采样定理”内容的教学探索

采样定理的叙述简单而又清晰，教材中的示意图也准确而又清晰地说明了采样定理的实际意义，学生也都能接受。但如何把这个定理与实际的数字信号处理结合起来，正确运用这个定理来设计实际的数字信号处理系统，学生往往表示不能理解。

在课堂中如果设问：信号在采样后为什么为发生频率的混叠·采样后信号频率是怎样混叠的·混叠后的信号又是什么样子的·学生都表示不清楚这究竟是怎么回事。这说明学生对采样定理的理解只限于教科书中所书写的内容。至于这个定理有什么实际意义，它对数字信号处理系统的设计有什么实际指导作用，学生尚未建立起正确的概念。

为了帮助学生正确理解采样定理，本文在教学过程中设计这样一个系统：设系统的采样频率为100kHz，在这一个系统中分别输入30kHz，70kHz，130kHz的正弦信号，分析这些信号通过系统后得到的输出信号，结果得到三个输出信号的频率全为30kHz。学生对此感到难于理解。于是我们先从理论上对这一现象进行分析：

一个正弦信号在工程上的数学表达为：

其中Ω是信号的角频率，如果信号的频率为f，则Ω=2πf，φ是信号的初相角，可以令其等于0。

如果这个信号通过一个采样频率为100kHz的系统，即采样周期为1/100000s，采样后的归一化信号序列为：

如果信号频率为30kHz，则根据（3），采样后的信号为：

如果信号频率为70kHz，则根据（3），采样后的信号为：

由于n是整数，同时余弦函数cos是偶函数，有：

（5）的结果与（4）相同。

如果信号频率为130kHz，则根据（3），采样后的信号为：

由于n是整数，有：

结果也与（4）相同。

从以上分析可以看出，由于采样后的信号序列以采样周期为间隔，序列的每个取值时间都是采样周期的整数倍。如果采样频率大于最高信号频率的2倍，采样后的信号还是原信号，不会产生混叠；如果采样频率在最高信号频率的1～2倍之间，则采样后得到的信号频率变成采样频率与原信号频率之差，变成更低频的信号，也就是产生了混叠，即信号频率失真了；如果采样频率小于最高信号频率，则采样后得到的信号频率变成原信号频率减去采样频率（或减去采样频率的若干倍），变成频率小于采样频率一半的信号，结果也是造成信号频率的失真（即混叠）。

为了进一步加深学生对采样定理及频率混叠的理解，在教学过程中设计了如图2所示的一个采样过程的示例。图（a）为输入的信号，这个信号是由3kHz、7kHz和13kHz三个频率的正弦信号简单叠加而成。图（b）、（c）和（d）分别是这个信号通过10kHz、20kHz和40kHz采样后得到的重构信号。其中图（b）的采样频率为10kHz，可以看出，得到的重构信号只有一个3kHz的频率，与输入信号完全不同，也就是有严重的失真。图（c）的采样频率为20kHz，低于13kHz的信号频率的2倍，采样频率重构后与输入信号相比较，也产生了失真。图（d）是用4kHz的频率进行采样，这个频率高于信号最高频率的2倍，得到的采样信号重构后与输入信号一致。这个示例进一步说明了采样定理及频率混叠的原理。

三、有关信号采样的实验设计

实验在“数字信号处理”的教学中具有相当重要的作用。通过实验，学生较好地理解和掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。

为了使学生更好地理解和掌握采样定理，在实验中设置了一系列验证采样定理的MATLAB仿真实验。如有一个关于验证采样定理的实验，实验中系统的采样频率为10kHz，先设信号的频率为3kHz，系统对这个正弦信号进行采样的MATLAB程序为：

f = 3；

T = 0.1；

n = 0：10；

xs = cos（2*pi*f*n*T）；

stem（n，xs）；

xlabel（''时间序号 n''）；ylabel（''振幅''）；

title（''离散时间信号 x[n]''）；

这个实验中，采样频率为10kHz，正弦信号的频率为3kHz，得到的采样结果如图3所示。

接着，使正弦信号的频率为13kHz，通过这个系统进行采样，得到的采样结果与图3完全一致。当信号频率为7kHz时，得到的结果也与图3一致。实验中要求学生对这一现象进行思考并解释。

这样的实验使学生对采样定理有了一个更深更明确的理解。

四、结论

“数字信号处理”本身概念比较多，涉及的数学知识又非常丰富，学生在学习过程中感觉比较抽象。但“数字信号处理”又是一门非常具体、实际意义非常强的课程。学生在学习过程中一般难以对概念有真正的理解，在对所涉及概念的实际意义等方面的理解上存在一些不足。作为教师，需要帮助学生正确地建构知识，建构概念，使学生能将所学知识真正应用到实际的工作中。

参考文献：

[1]高西全,丁玉美.数字信号处理[M].第三版.西安:西安电子科技大学出版社,2008.