综合测试(4)

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一、选择题：每小题5分，共25分.

1. 一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点. 把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点. 当点A运动时点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆

C. 双曲线？摇？摇？摇？摇？摇 D. 抛物线

2. 设F1，F2为双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 2 B. ■

C. ■ D. ■

3. 已知点P是椭圆■+■=1（a>b>0）上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，I是PF1F2的内心，若S■+S■=λS■成立，则λ的值为（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

4. 已知抛物线y2=2px（p>0），过点E（m，0）（m≠0）的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若■=λ■，■=μ■，则λ+μ等于（ ）

A. 1 B. ■ C. -1 D. -2

5. 在抛物线y2=4x上有A，B两点，点F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若■+2■+3■=0，则直线AB与x轴交点的横坐标为（ ）

A. 1 B.？摇■ C. 6 D. ■

二、填空题：每小题5分，共15分.

6. 过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则■+■的取值范围是______.

7. 若点P在曲线C1：■-■=1上，点Q在曲线C2：（x-5）2+y2=1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则PQ-PR的最大值是______.

8. 设双曲线■-■=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若■=m■+n■（m，n∈R且m>n），且mn=■，则该双曲线的离心率为______.

三、解答题：每小题15分，共60分.

9. 如图1，过抛物线C1：y=■x2-2的顶点A作两条斜率之积为-■的直线，与抛物线交于另两点P，Q，直线PQ（PQ与x轴不垂直）与椭圆C2：■+x2=1相交于点M，N.

■

图1

（1）若直线PQ与y轴交于T（0，t），求t的值；

（2）若PQ，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，且k>0，求■-■-■的最小值.

10. 如图2，已知F1，F2分别是椭圆■+y2=1（a>1）的左、右焦点，若椭圆上存在一点M满足■・■=0.

■

图2

（1）求a的最小值；

（2）设A（0，1），B（0，-1），过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q，当a取最小值时，判断■・■是否为定值，并证明你的结论.

11. 如图3，设点P为圆C1：x2+y2=2上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q. 动点M满足■■=■（其中P，Q不重合）.

（1）求点M的轨迹C2的方程；

（2）过直线x=-2上的动点T作圆C■的两条切线，设切点分别为A，B. 若直线AB与（1）中的曲线C2交于C，D两点，求■的取值范围.

■

图3

12. 如图4，已知抛物线y=x2，直线l过点A（-1，2），但不经过点B（1，1），与抛物线交于M，N两点，点M的横坐标大于1，直线l的斜率为k，直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.

（1）当ABl时，求k1・k2的值；

（2）设BAM和BAN的面积分别为S1，S2，当k≤1时，求■的取值范围.

■

图4