从中考题看“数学实践活动”的考查
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“数学实践活动”是一类以问题为载体,学生主动参与的学习活动,是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径.《新课程标准》指出：数学本身就是一个过程,只有通过大量的数学活动,学生才能形成对数学的全面认识.因此,过程就是一个课程目标.作为新课程的一个具体目标,学生的“数学实践活动”过程始终是课程、教学及其评价所应当关注的对象.但是,在平时教学中,许多教师对“数学实践活动”过程的关注不够,重结果轻过程,形成结果的生动过程往往被单调机械的条文所取代,数学学习变得沉闷.教材中每章结束后安排的“数学实践活动”课,绝大部分教师都选择了放弃，主要是因为以往在中考试卷中缺乏对“数学实践活动”的考查,从而导致了教师们思想上的一种懈怠.但是在近几年的中考试卷中,我们越来越多的看到“数学实践活动”的身影,已经成为中考命题者青睐的对象.现从2011年部分中考题来谈谈“数学实践活动”的考查角度.
1 设计多层次问题,从探究应用的角度考查
设计多层次问题,综合多元知识,在问题的探索过程中暴露学生的思维活动过程,从而进行有关过程性目标的考查．
问题1 (2011江苏盐城)情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到ABC和A′C′D,如图1所示.将A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ,∠CAC′= °．
问题探究
如图3,ABC中,AGBC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论．
拓展延伸
如图4,ABC中,AGBC于点G,分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由．
解析 (1)情境观察：学生通过观察或全等易得与BC相等的线段是AD,∠CAC′=90°,这一问题的设计主要是呈现给学生一个基本图形,为解决下面的问题服务．
(2)问题探究：图形蕴含了两个如图2所示的基本图形,可由RtABG≌RtEAP,得出AG=EP,RtACG≌RtFAQ,得出AG=FQ,从而得证EP=FQ．
(3)拓展延伸：如图5,过点E作EPGA,FQGA,垂足分别为P、Q.把“问题探究”中的两对全等三角形变为相似三角形,RtABG∽RtEAP,RtACG∽RtFAQ,运用相似三角形的性质,易证EP=FQ,再证RtEPH≌RtFQH,得HE=HF．
点评 本题主要考查学生对全等三角形、相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握.问题设计上层层深入,每一步都为下面的思维活动打下基础,是一个蕴含了让学生经历观察、探究、合情推理、拓展应用的数学活动过程.学生始终处于“思考―收获―再思考―再收获”这样一种情感体验之中,从而激发和培养学生的数学化思考,引领学生的思维往纵深发展,在一定程度上体现了对过程性目标的考查．
2 暗示思路,从方法迁移的角度考查
在试题中根据已建立的数学模型,逐步给出解决问题的思路与方法,要求学生在理解的基础上进行方法的迁移运用,以获得的数学经验和知识解决新问题．
问题2 (2011北京)小伟遇到这样一个问题,如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的BDE即是以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形(如图7)．
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题：
如图8,ABC的三条中线分别为AD,BE,CF．
(1)在图8中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于_________．
解析 作法：过点A作AP∥BC与过点C作AD的平行线交于点P,FCP即为所求(如图9).本题方法不唯一,但不管哪种作法,都要求学生能够迁移小伟的思想方法,运用平移的性质去尝试解决问题．
(2)如图9,连接EP,EF.由条件,得SAFE=1[]4SABC=1[]4,则有SAFE=SAPE=1[]4,SAFE=SPFE=SCFE(同底等高),SAPE=SCPE(等底同高),故SPFC=SPFE+SCFE+SPEC=3[]4．
点评 通过利用平移这一基本图形变换将零散的线段整合起来,是解决此题的关键.本题在求解之前暗示了解决问题的思路,要求学生根据给出的思路尝试解决新的问题,在求解的过程中有效地考查了学生类比、转化和知识迁移的能力．
3 动思结合,从动手操作的角度考查
陶行知先生说：“单纯的劳动,不能算做,只能算蛮干；单纯的想,只是空想；只有将操作与思维结合起来才能达到思维之目的”.近几年来的中考试题中,出现了不少动手操作题.此类题目,要求学生通过观察、实验等活动过程自主地发现有关规律并加以运用,有效地考查了学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力．
问题4 (2011山东威海)如图10,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到MNK．
(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数．
(2)MNK的面积能否小于1[]2？若能,求出此时∠1的度数；若不能,试说明理由．
(3)如何折叠能够使MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值．
解析 (1)题目已经给出了折叠后的图形,学生能否在脑海中呈现操作的过程,是解决问题的关键.由对称性知∠1=∠KMN=∠KNM=70°,易得∠MKN=40°．
(2)过M点作MEDN,垂足为E,故AD=ME=1.由(1)中探索的结论可知MK=NK,易得NK≥1,由三角形面积公式可得MNK的面积不可能小于1[]2．
(3)此问巧妙地把动手操作和演绎推理结合起来,用“操作”启迪思维,使思维在“操作”中得到发展.可分两种情况：情况一：将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合,由勾股定理易求MD=ND=2.6,可得SMNK=SMND=1.3；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕MN与AC重合,易求MK=NK=2.6,可得SMNK=SMND=1.3．
点评 此题3个问题设计巧妙,都要求学生根据操作过程中MK=NK始终相等这一不变的关系去解决,培养了学生思维的缜密性.《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,要把动手实践作为数学学习的一种重要方式.而折纸操作型试题通过纸片折叠这一学生熟悉的、感兴趣的问题背景,将图形的有关知识与方法有机地融合在学生的自主活动、思考及探究之中.这样的过程既有利于考查学生对所学知识的掌握与运用,又有利于考查学生的探究能力,更有利于引导学生从生活中发现与提炼数学问题．
4 揭示本质,从阅读理解的角度考查
阅读理解题实质上是一种探究型数学问题,它不仅考查学生的阅读能力和对所学知识的整体概括能力,而且综合考查学生的数学意识和数学综合实践能力,要求学生根据阅读提取和整合有效信息,从而建立数学模型解决问题．
问题5 (2011甘肃兰州)通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),如图11,在ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边[]腰=BC[]AB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题：
(1)sad60°=_________．
(2)对于0°＜A＜180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 _________．
(3)如图12,已知sin A=3[]5,其中∠A为锐角,试求sadA的值．
解析 (1)正对是一个新的定义,要求学生有一定的阅读理解能力.由定义可知顶角为60°时,三角形为等边三角形,得sad60°=1．
(2)∠A没有给出具体大小,主要是在解题过程中让学生体会极限的思想方法.当∠A接近0°时,sadA接近0,当∠A接近180°时,sadA接近2.故sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
(3)构造顶角为∠A的等腰三角形是解题关键.如图12,在AB上取点D,使AD=AC,作DHAC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,易得AD=AC=4k,由sin A=3[]5,可求DH=12[]5k,AH=16[]5k,故有CH=4[]5k,CD=410[]5k.所以sadA=10[]5．
点评 这是一道考查新知识能力型的阅读理解题,要求学生通过阅读理解正对的定义,并能运用定义解决问题.在学生阅读理解的过程中考查学生接收、加工和利用信息的能力,同时也考查了学生观察分析和逻辑推理的能力.因此,在平时的教学过程中,要重视阅读,加强数学语言的理解和应用．
5 关注生活,从实际应用的角度考查
数学来源于生活,又应用于生活.数学课程标准要求学生注重数学知识的实际应用,能够运用所学知识去解决生活中的实际问题.以实际问题为背景设计探究题,注重考查学生应用能力,意在引导学生学会用数学眼光认识世界,并能建立数学模型,用数学知识和数学方法处理生活中的问题,提高分析问题、解决问题的能力．
问题7 (2011四川宜宾)如图13,飞机沿水平方向(A,B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．
解析 (1)如图13,连接AM,BM,MN,测出飞机在A处对山顶M的俯角α,飞机在B处对山顶的俯角β,AB的距离为d．
点评 飞机失事的新闻媒体报道较多,问题7则以飞机为背景,有效地抓住了生活中的问题,主要考查了仰角、俯角和解直角三角形等相关知识的应用,充分考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,符合课标中提出的关于运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题.解决这类问题的关键是要回归定义,找准找对解题所需的直角三角形.这两题都充分体现了数学源于实践又应用于实践的真谛.解决问题的方法都是通过建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,有效地考查了学生数学应用能力．
从近几年中考试题来看,命题者注重考查学生的“数学实践活动”能力.所以我们在教学中,要充分挖掘教材中的素材,重视知识的发生发展过程,关注数学知识间的联系及运用,以知识教学为载体,切实提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.积极开设实践活动课程,使学生在活动中加深对数学知识及思想方法的理解,不断积累数学实践活动的经验,提高学生的数学素养.但我们也应该充分意识到,中考是一种备受关注的考试,命题者在设置试题背景、活动方式、操作过程时,应该充分考虑和兼顾不同学生的思考方式、思维水平、已有的数学活动经验等方面的差异,尽可能地使每个学生都有机会来表达自己的数学才能．
参考文献
［1］ 《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》［M］.北京师范大学出版社,2005．
［2］ 董林伟,孙朝仁.数学综合与实践活动研究与开发［M］.江苏科学技术出版社,2010．
作者简介:
陈建,男,1981年3月出生,中学一级教师,江苏省泰州市中学数学名师工作室成员.教学上积极探索新的教学模式,多次参与课题研究,多篇论文在省级刊物发表或获奖.顾广林,1964年5月出生,中学高级教师,全国模范教师、江苏省特级教师、泰州市名教师.在省级以上主流刊物发表50多篇论文.主持国家级课题1项、省级课题 3项、市级课题1项.