肋型板的等效刚度
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摘要：应用刚度等效原理导出肋型板的等代无肋板厚度计算显式，方法适既适用于不同纵、横梁布置的板，也适用于板边各种支承情况，包括边界点支承的板。针对工程中肋型板不同的边界约束状况，给出挠曲试函数各种形式。计算过程涉及的数值积分简便易行，便于工程技术人员运用，与有限单元法相比，无需计算机程序。多个典型算例的结果表明，代换前后板上的挠度分布特征及扭转角分布特征与有限元法计算结果在2%～5%误差范围一致。
中图分类号：TU13 文献标识码：A
Equivalent Stiffness Of Rib Board
Ding ting1, Ding shengguo1, Li qiwen2
(1．Guizhou university institute of civil engineering,2． Guizhou university mingde institute ,)
Abstract: explicit for calculating thickness of board without ribs are derived by the principle of equivalent stiffness of the rib board, The proposed method is applicable to the board in various decorate of transom and longitudinal beam, , also apply to all kinds of plate edge support, including the plate supported by boundary point.In allusion to different type boundary constraints status of rib board in engineering, various forms of buckling trial function are given.Calculation process involves simple numerical integration only , so convenient application to engineering and technical personnel. Compared with finite element method,don't need to computer program. The results of several typical examples show that distribution of deflection and reverse angle before and after stiffness replacement of the plate are consistent, and calculating error only 2%-5% to finite element method
Key words: Cast-in-situ rib board, equivalent stiffness, the energy method
肋型板包括各种边界支承条件下的楼（屋）面梁板结构、井字楼盖。肋型板竖向刚度是设计中关注的问题之一。由于竖向荷载作用下梁肋和板协同工作，板的刚度、梁肋刚度及板边支承条件的差异均会对这一结构体系的组合刚度产生影响，从而对肋板作用效应产生影响。对于肋型板的作用效应，常规的计算用有限单元法完成[1][2][3][4]，相对于无肋板而言，可供参考的计算结果并无现成的显式表述。我们从变形能等效原理出发，导出将各种肋形板等效为无肋板的等效刚度计算显式，适用于工程上应用的各类梁肋布置及各种边界支承肋型板的计算，旨在便于工程设计人员应用。
1．等变形能刚度代换
理论推理过程的基本假设是：具有相同平面尺寸的肋型板（图1a）与无肋板（图1b）在相同荷载q作用下具有相同的弹性变型能，根据虚功原理，a状态外力所做的功恒等于肋板变形后板内积畜的变形能 ：
图1a 肋型板
图1b无肋板
(a)
同理，b状态外力q所做的功恒等于肋板变形后板内积畜的变形能
(b)
根据基本假设： ，由（a）（b）式有 （c）
因此可设a、b两状态的板有相同的挠曲试函数 ，即肋板与无肋板刚度相同。基于这一等刚度原则，a状态的变形能由板和x向梁肋 及y向梁肋 共同贡献：
(1)
其中：第一项面积分为周边简支或周边固支板的弹性变形能，第二、三项线积分分别为x向梁肋及y向梁肋的弯曲变形能，最后两项积分分别为x向梁肋及y向梁肋的扭转变形能。由于梁肋与板变形的协调性，梁肋的挠曲函数均由板的挠曲试函数 唯一确定：x向梁肋挠曲函数为：
，因此其曲率 ，其单位杆长的扭转角 y向梁肋挠曲函数为： ，因此其曲率 ，其单位杆长的扭转角为板的抗弯刚度， 分别为x向第j根梁肋抗弯刚度及y向第i根梁肋抗弯刚度， 分别为x向第j根梁肋抗扭刚度及y向第i根梁肋抗扭刚度。
需要说明的是梁肋的抗扭刚度 和 不宜用材料力学的表述形式[1][3]，按材力计算的杆极惯矩：
（d）
而应采用弹性力学导出的抗扭极惯矩：
（e）
其中 与梁肋矩形截面的高宽比相关：
表1 按材料力学计算与按弹性力学计算的抗扭刚度系数 比较
1.5 2 2.5 3 4 10 >10
弹力计算的
0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.312 0.333
材力计算的
0.271 0.417 0.604 0.833 1.417 8.417 >8.5
从上表可见，随梁高宽比h/b增加，按材料力学计算的IP显著偏大。在杆系结构计算软件PKPM中，人为引入抗扭刚度折减系数（如0.4）以修正过大的抗扭刚度。我们认为采用（e）式计算杆的抗扭刚度更适宜。
对于无梁肋的b状态，其弹性变形能
（2）
为无肋板的抗弯刚度。
根据基本假设，令（1）（2）式相等，可解得与肋型板（图1a）等横向刚度的等厚度无肋板的厚度：
（3）
其中 和 分别为梁肋的弯曲变形能及扭转变形能：
(3a)
3b)
（3）式为本文导出的与肋型板（图1a）具有相等横向刚度的等厚度板（图1b）的厚度tb。tb在设定板的挠曲试函数 后即可求得，所涉及的积分一般均为简单初等函数的定积分，运算过程并不冗繁。当板周边非完全简支或完全固支时[5]，第一项积分的被积函数 应改为 。
2．板的挠曲试函数
应用（3）式分析计算无肋板厚度 的关键是正确设定板的挠曲试函数 ， 可用分离变量的初等连续函数 ， 拼凑得到[1]：
（4）
， 可采用表1给定的试函数形式，以满足板边约束条件。例如，若图1所示矩形板 的边界固支， 的边界自由， 的边界固支， 的边界简支，则 可取表1第二栏的试函数， 可取第三栏的试函数，以满足板的边界条件：