“一元二次方程”中考考点透视

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一元二次方程是中学数学的一个重要内容，它在每年中考中占有十分重要的地位，它既有独立考查的试题，更有广泛渗透到其他方面的综合考查. 它也是高中阶段学习的基础，在整个中学数学学习中起着承上启下的作用.一元二次方程主要有三部分内容，分别是一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、一元二次方程的应用. 下面就近年中考试卷中出现的例题作简单的阐述，希望对同学们今后的学习有所帮助.

考点1 一元二次方程的基本概念

例1 （2012·贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）.

A. 1 B. -1

C. 0 D.无法确定

【解析】本题考查了一元二次方程的根的定义和一元一次方程的解法. 把x=1代入原方程，建立关于m的一元一次方程，从而解得m的值为-1，故选B.

【点评】本题有时还会让同学们求出此方程的另一个根，只要把m=-1重新代入原方程，求出一元二次方程的根即可.

考点2 一元二次方程的解法

例2 （2013·山东滨州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解为______.

【解析】认真审题后发现显然应选择因式分解法. 分解因式得（x-1）（2x-1）=0，可得出两个一元一次方程x-1=0及2x-1=0，从而求出方程的解x1=1及x2=■.

【点评】一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法，在解题的过程中要根据方程的特点选择适当的方法.

考点3 一元二次方程根的判别式

例3 （2013·四川泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）.

A. k>-1 B. k

C. k≥-1且k≠0 D. k>-1且k≠0

【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号就可以了，因为二次项含字母系数k，所以还必须满足k≠0，故选D.

【点评】此题主要考查了根的判别式，运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时首先要保证方程是一元二次方程即二次项系数不为0，本题中k≠0. 一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1） Δ>0？圳方程有两个不相等的实数根；（2） Δ=0？圳方程有两个相等的实数根；（3） Δ

考点4 一元二次方程的应用

例4 （2013·四川宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元. 设平均月增长率为x，根据题意所列方程是______.

【解析】本题属于实际问题抽象出一元二次方程应用中的增长率问题. 一般表示为增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程：25（1+x）2=36.

【点评】本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.

考点5 一元二次方程在几何中的应用

例5 （2013·山西）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.

【解析】在本题的翻折问题中，运用翻折过程中线段长度和角的大小不变，设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，A′B=8，在RtA′BE中，运用勾股定理得：x2+64=（12- x）2，解得x=■.

【点评】这是翻折问题中典型的题例，除了可以用勾股定理构造一元二次方程，还可以求三角形的面积即■BD·A′E=■BE·AD，13x=5（12-x），解得x=■. 本题也可以用相似三角形对应边成比例来求AE的长.

一元二次方程在初中数学中占有重要的地位，考试中不仅会考查基础题，在综合题里也会重点考查，中考中对于这部分的考查形式多样，注重对方程思想、转化思想等思想方法的考查，对同学们分析问题和解决问题的能力要求也比较高.