欧拉—拉格朗日方程的推广

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摘要： 变分法是处理泛函极值的一种数学方法，欧拉—拉格朗日方程是基于变分法得到的，该方程在除数学外的很多其他领域有着广泛的运用.如果能将欧拉—拉格朗日方程的应用范围进一步扩大，即条件减弱或者放松限制条件，就可以使已有的结论更完善.本文运用变分法，得到更普遍适用的欧拉—拉格朗日方程.

关键词：Hamilton原理变分问题欧拉—拉格朗日方程

1.引言

变分法用于极值泛函问题，运用范围非常广泛，其中一个重要定理是欧拉—拉格朗日方程［１］.在分析力学里，由Hamilton原理一个动力系统的拉格朗日函数是描述整个物理系统的动力状态的函数，定义为动能减去势能，以方程表示为L=T-V；其中L为拉格朗日量，T为动能，V为势能.拉格朗日量是动能T与势能V的差值L=T-V［2］.

一个物理系统的拉格朗日函数所构成的泛函的变分问题：在时间段［t■，t■］内的一切容许运动中，真实的运动必使L取极值对应于寻求泛函的临界点，在寻找函数的极大、极小值时，一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似［3］，借此人们可以得到该物理系统的动力行为表达，具体描述如下：设f是关于自变量的二次连续可微函数，若S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■）dx在u（x）=■（x）取极值，则f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））=0.

这里我们采用下述记号，设f为在Ω上定义的连续函数，记f的支集suppf为suppf=■，记C■为Ω上定义的直到k阶导数都连续的函数的集合，记C■■（Ω）为C■（Ω）中其函数的支集为包含在Ω内的紧集的函数的集合［4］.f■为函数f对变量u的一阶导，u■为函数u对变量x■的一阶导，f■为函数f对变量u■的一阶导，f■为函数f的k阶导（依次对变量u■，…u■求一阶导）.为导出上述变分问题有解的必要条件，如下引理.

引理：对任意φ∈C■（Ω）有■f（x）φ（x）dx=0，其中f∈C（Ω），则在Ω上f0［5］.

2.主要结论

上述得到的欧拉—拉格朗日方程涉及的是变量的一阶偏导，如果L涉及变量的高阶偏导那么上述方程就不适用了.为了使其运用范围进一步扩大，本文通过运用变分法，得到更普遍适用的欧拉—拉格朗日方程.

定理1：设f是关于自变量的四次连续可微函数，若

S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■，u■，u■，…u■）dx

在u（x）=■（x）取极值，则

f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0

证明：设在u=（x）=■（x）时L（u）取极值，取φ∈C■（Ω），取绝对值分小的a，使得■+aφ属于容许函数类，则

L（a）=L（■+aφ）=■f（x，■（x）+aφ（x），■，…，■，…■…）dx即L（■+aφ）为a的函数，且当a=0时函数L（a）取极值.故有

L′（0）=■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），…■■（x），…）φ（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=0

由定理1

Ⅱ=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x））φ（x）dx

同理对Ⅲ式运用Gauss公式及φ∈C■（Ω），得

Ⅲ=■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=■?鄣（■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx-■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■·nds-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■?蘩■?鄣■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ（x））dx+■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx=■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx从而在u（x）=■（x）

L′（0）=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=■（f■-■?鄣■f■+■?鄣■f■）φdx=0

由引理，在Ω上恒有

f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0定理2：设f是关于自变量的2k次连续可微函数，若

S=L（u）=■f（x，u，…u■，…，u■，…u■，…）dx

在u（x）=■（x）取极值，则在■（x）

f■-■?鄣■f■+■?鄣■■f■+（-1）■■?鄣■■f■=0.

参考文献：

［1］Fomin，S.V.and Gelfand，I.M.：Calculus of Variations，Dover Publ.，2000.

［2］Lebedev，L.P.and Cloud，M.J.：The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics，World Scientific，2003：1-98.

［3］Charles Fox：An Introduction to the Calculus of Variations，Dover Publ.，1987.

［4］Herbert Goldstei.Classical Mechanics，2nd ed.，Addison Wesley，1980：35-69.

［5］吴方同.数学物理方程，2001：13-16.

基金项目：江西科技学院自然科学研究项目“热方程的理论研究及应用”（ZR12YB15）.