一道试题的讲评

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在2011年的高考前，我给学生进行高考模拟卷的讲评.其中有一道题目的讲评过程是这样的：

老师：首先认真审题，解题信息就在题目当中.解题的成败，审题是起了决定性的作用的.再看一遍题目.

题目：若对于任意角θ，都有cosθa+sinθb=1，那么下列不等式中恒成立的是（ ）.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1

试题来源：本题是2011年上海普陀区模拟考试试题，是由前几年的一道高考试题改编而成.

选题意图（对应知识点）：运用消元的方法解决不等关系.本题可以有多种解决方法，体现思维的发散性和灵活性.

老师：题目当中，条件与结论有什么异同点？解题的方向就是化异为同.

学生：条件与结论当中都有字母a与b，这是共同点 ，条件是等式而结论是不等式，这是不同点.还有条件当中有三角函数，结论中没有.

老师:怎么样把三角函数消去呢？

学生：用“正弦函数与余弦函数的平方和等于1”来消.（思考后，还没有得出解决方法.）

老师：解法一：由柯西不等式(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b2+a2b2)2得：

1=(1a・cosθ+1b・sinθ)2≤(1a2+1b2)・(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2

，所以选D.

体会1：应用“正弦与余弦平方和等于1”来消元是比较常见的思考，柯西不等式在上教版课本向量这一章出现，但是用得较少，一般同学们不熟悉.

学生：我真的就是不知道.

老师：对于课本上的知识，应当搞清楚来龙去脉.比如柯西不等式，课本上是利用两个向量积的模不大于模的积来证明推导的.

解法二：由向量模的性质|a・b|≤|a|・｜b｜，

令a=(1a,1b)，b=(cosθ,sinθ)，那么代入上式就有

1=(1a・cosθ+1b・sinθ)2=|a・b|2≤(|a・b|)2=(1a2+1b2)・(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2.

体会2：向量模的性质，是一个重要的结论，可以用来解决不等的问题.

学生：这个看得懂，但还是不太容易想到.

老师：除了用“正弦与余弦平方和等于1”来消元外，是不是还可以用正弦函数的最大值为1来消元啊.

学生思考后，提出新的解决方案.

解法三：由三角函数辅助角公式：a・cosθ+b・sinθ=a2+b2・sin(θ+φ)，

得1a・cosθ+1b・sinθ=1a2+1b2・sin(θ+φ)≤1a2+1b2

，于是1a2+1b2≥1

，所以选D.

老师：解决得比较好.

体会3： 先用三角函数辅助角公式化简，然后利用正弦函数的有界性得解.请继续思考，看一看问题的几何背景.

解法四：由条件知：单位圆上一点（cosθ,sinθ）在直线1a・x+1b・y=1上，所以圆心（0，0）到直线的距离不大于1. 根据点到直线的距离公式也可以得出1a2+1b2≥1，所以选D.

体会4：数形结合，产生联想.遇问题要想一想它的几何背景 .

学生：还有没有其他更加简单的方法呢？

老师：简单与不简单其实是相对的，考试的时候你能够想到的方法就是最好的方法.

解法五：由条件知，过单位圆上一点(cosθ,sinθ)在两个坐标轴截距分别是a和b的直线是1a・x+1b・y=1

， 通过作过单位圆上一点的切线和过接近原点的一点作与单位圆相交的直线.看两幅图像，观察截距应该满足的条件，利用排除法，也可以得出D的结果.

体会5：作图像，用特殊值利用排除法快速求解，是选择题填空题常用的一种解题方法.

很多学生通过这一次讲评，觉得收获很大.一是提高了学习的积极性，有了兴趣，有了信心.二是学会了思考问题的方法，就是观察条件和结论的异同点，想方设法化异为同.