四边形中动点问题的求解

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇四边形中动点问题的求解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

数学中的动点问题，是数学图形上存在一个或两个沿某些线运动的点，利用点的运动特征，寻求题目中某些量之间关系的问题. 这类题目，逐渐成为了考试研究的热点. 下面举例说明四边形中动点问题的解法.

如图1，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点E，F分别是边AB，BC的中点，求PE＋PF的最小值.

利用轴对称的性质，可在CD上找出点F关于AC的对称点F′（即DC的中点），连结F′E交AC于点P，则PE+PF的最小值为线段EF′的长，而E，F′分别为边AB，DC的中点，则F′E的长等于菱形的边长5.

作点F关于AC的对称点F′，连结F′E交AC于点P，此时PE+PF取得最小值. 因为点F是BC上的中点，所以点F′是DC边上的中点. 因为四边形ABCD是菱形，所以DC∥AB. 因为点E是AB边上的中点，所以F′C∥EB，F′C=EB. 所以四边形EBC F′是平行四边形. 所以EF′=BC. 因为菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，所以BC==5. 所以EF′=5. 所以PE+PF=PE+PF′=EF′=5. 所以PE+PF的最小值为5.

解此类题时，先抓住问题中的“最值”，即题目中的 “最小值”，确定动点P的位置，然后利用图形的特征加以解决. 求最小值的常用方法是先作某一点关于某直线的对称点，再利用轴对称性质将线段进行转移，最后利用两点之间线段最短进行求解.

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm，BC=26 cm，一动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动. P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t s，则

（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

解决本题的关键是熟悉平行四边形和等腰梯形的性质特征，再根据它们的性质特征列出方程进行求解.

（1）在直角梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形. 所以24-t=3t，解得t=6. 所以当t=6 s时，四边形PQCD为平行四边形.

（2）如图3，作DHBC于点H，PGBC于点G，若四边形PQCD为等腰梯形，则QC=PD＋2HC，即QC=PD+2（BC-AD）. 因为BC=26，AD=24，所以3t=（24-t）+2（26-24），解得t=7. 所以当t=7 s时，四边形PQCD为等腰梯形.

在解答本例题时，根据问题殊四边形的性质及特征，构造动点的位置，是动点问题常用的方法.

如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值.

在求PE＋PF的值时，动点P的位置不固定，根据矩形的对角线相等且互相平分可发现S与S的和，即S的值是一个固定不变的值，所以，可连结OP，根据S= S+S=S，代入数值，即可求出结果.

连结OP，因为S= S+S，所以S=AO・PE+DO・PF. 因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，∠BAD=90°，AO=AC，DO=BD. 因为AB=3，AD=4，所以AC=BD=5. 所以AO=DO=. 所以S=×PE+×PF=（PE＋PF）. 因为S=S=×3×4=3，所以（PE＋PF） =3. 所以PE＋PF=.

动点P的位置无法确定，PE，PF无法放到一条直线上，但始终不变的是图形的面积. “面积法”是本类题的解题特点.

如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=2， BC=4， 点M是AD的中点，MBC是等边三角形.

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形.

（2）动点P，Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变，设PC为x，MQ为y，求y关于x的函数解析式.

（1）因为MBC是等边三角形，所以MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°. 因为M是AD的中点，所以AM=MD. 因为AD∥BC，所以∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°． 所以AMB≌DMC. 所以AB=DC. 所以梯形ABCD是等腰梯形．

（2） 因为MBC是等边三角形，所以∠MBC=∠MCB =60°，MB=MC=BC=4. 因为∠MPC=∠MBC＋∠BMP=∠MPQ＋∠QPC，∠MPQ=∠MBC=60°，所以∠BMP=∠QPC. 所以MPB∽PQC. 所以=. 因为PC=x，MQ=y，所以QC =4-y，PB=4-x. 所以=. 所以 y=x2-x+4.

如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3 cm，∠C=60°，BDCD．

（1）求BC，AD的长度.

（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2 cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1 cm／s的速度运动，当 P，Q分别从B，C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B，C两点的情况）.

（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1 ∶ 5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）在RtBCD中，CD=3 cm，∠C=60°，所以∠DBC=30°. 所以BC=2CD=6 cm. 由已知知梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC=∠C=60°. 所以∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°. 因为AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°. 所以∠ABD=∠ADB. 所以AD=AB=3 cm.

（2）当P，Q分别从B，C同时出发运动t s时，BP=2t，CQ=t，所以PC=6-2t. 过点Q作QEBC于点E，则QE=CQsin60°=t. 所以S =S-S=－t（6-2t）=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1 ∶ 5. 因为S=，S=×3××3，所以S=S所以五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的. 所以S ∶ S=1 ∶ 5，即S=S. 所以（2t2-6t+27）=×，解得t=. 所以当t=s时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1 ∶ 5．

总之，数学中的动点问题，是把“动”变为“静”，借助题目的已知条件、所求问题的图形特征、运动规律等，经过观察、大胆猜想、推理、归纳等过程，灵活地把未知转化为已知，从而得出动点问题的答案.