如何培养高三学生的数学综合能力

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数学高考命题坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素质，以及运用这些知识分析问题和解决问题的能力。为此，在高三复习课教学中，如何把“能力立意”落实到教和学的每一个细节中呢？

第一，对中学阶段所学过的数学知识要有一个系统的整体的认识，对知识的内容应有一个全面的、系统的、有机的结构体系。

这不是死背章节目录，而是经过自己消化、理解，领会精神实质后，融化在脑中。过去的学习都是一科一科，一章一节地学习，虽然每章节后面有小结，一般情况下教师也要作单元、章节的小结，甚至期中、期末的考试也有小范围的阶段考试。所以，学生对知识的理解是孤立的、割裂的，很少去想章节之间的联系，当然各科之间就更不会想了。数学知识的学习固然重要，但数学方法的掌握更是重要。例如，函数是代数的重要内容，也是进一步学习数学分析等高等数学的基础，但中学课本是分散在几处进行教学的，复习时就应该联系起来串成一体，把初中用常量变量来定义发展到高一用集合对应来定义，告诉学生理解概念的观点要提高、要发展。任意两个集合之间的对应，应该是我们已学过的函数的发展。而函数又是一种特殊的对应。具体的函数的研究，应要求学生在理解的基础上熟记基本初等函数的图象和性质，并由具体函数的复习，发展到对于函数一般性质的研究和处理。能从定义，图象和解析式等方面去讨论函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性；特别要求同学要深刻理解定义域和值域，明确定义域在函数中的作用。对什么样的函数有反函数，如何求反函数，以及互为反函数的两函数之间的关系等也要联系具体函数深刻理解，所以函数这一内容应从初三的函数、高一的集合、指、对数函数、数列、三角函数、反三角函数串起来复习。要注意它们的共同点又要掌握它们各自的特性。不宜这种总结全由老师串讲一遍，教师如果引导学生自己去进行总结，效果会更好。

第二，对概念、定义要牢固地掌握和深刻地理解。

讲一个新的概念的定义时，要求同学会背诵是应该的；学会用数学语言表达，但不能停留在死记硬背上。知识不是装饰品，而是工具、是方法，应该会用来解决问题。

例如，方程的解，两个对称方程统一成一个方程，韦达定理、判别式、弦长等问题的综合考虑、线面垂直得到线线垂直、线线、线面角度，点线、点面、线线、线面、面面的距离问题、解析几何求轨迹方程的题目若曲线上点的特征可以归纳或转化成某种曲线的定义，那么建立方程就简捷许多。

在解题过程中能否找到隐条件帮助解题或者忽略隐条件就出现错误，实质上它是反映对概念定义，理解不深刻，如数学归纳法证不等式，用不等式性质证不等式的融合与整理，函数方程不等式体现的根的分布问题中二次函数的端点值，对称轴，判别式的充要条件的完备性、稍欠周全，就可能导致错误。

第三，教师本人掌握应用知识要灵活，要有一定的数学素养，还要有辩证的观点。

如局部与整体一般与特殊、感性与理性、具体与抽象，等等，教师还要教会学生在知识掌握的基础上要掌握数学的方法。如在求直线和二次曲线相交弦长的计算中，如果弦过定点往往可用极坐标系来计算，也可以充分利用直线参数方程。当使用普通方程时又由于求交点就是解方程组，代入后成一元二次方程，又可应用韦达定理和弦长公式。

对于数、式、图应该有观察和认识的能力，如均值不等式推广到若干个正数结合放缩法可用来证排列、组合等式子。教学工作是复杂变化的，出现的各种情况可能很多，学生通过数学的学习可以养成严谨、周密、一丝不苟的习惯。在许多题的求解过程中，特别是字母系数的题，一定要使学生养成分析讨论的习惯。

在解较复杂题目的时候，教师可以引导学生分析某一个局部，以此来推测整体的特点。例如，二项式定理中通项公式是重点，研究数列也往往抓住通项来分析。

第四，数形结合能力。

数学是研究数和形两个方面的科学。由于数与式是先认识的，而形与图是后认识的，似乎给人的感觉数比形重要。事实上，数与形是紧密相连，互相渗透，互相补充，相辅相成的。我们在函数的研究中要充分重视其图形，使函数的各项性质通过图象来加深理解。

教师教会学生自己动脑去总结知识。先归纳每部分都有哪些定义、概念、定理，然后再去找这些知识的相互联系。最后，运用这些知识去解题。教师可以用些思考题，引导和帮助学生进行归纳概括。同学之间如能开展讨论当然更好。为串联一些内容也可以用一组题来串联。例如，立体几何的空间四边形，正方体，长方体都可组成题组。在复习巩固的基础上，也要联系各种类型的题目，以开阔眼界，放开思路，引起联想。

所有的一切活动必须以学生为主体。只有他们自觉要求主动学习才能提高。平时作业是必须做的，但被动地做作业效果不理想。相反，如果学生自己找题再研究思考，收益就会更好。当然不能设想每个同学都有这种自觉性，因而在宣传提倡自觉的同时，也只能诱导自己动手总比不动手强。

另外，高三数学复习中，我们注意处理好下面几个问题：一要切实重视“三基”。即基础知识，基本技能和基本方法的教学，在高三的教学复习中应充分地挖掘出定理、公式中隐含的解题方法和规律，同时注意对解题技能和方法的培养，以提高解题的速度。二要落实课本。即要紧扣大纲，抓住教材，切实以教材中的习题为素材，通过推敲延伸或适当变形，启发和帮助学生掌握基础知识，提高解题能力。三要渗透解题思想方法，培养综合运用能力，要认识到学习数学的过程就是数学思维的过程，调动学生的思维，多思考多总结，培养学生的综合能力。四要深入研究《考试说明》，分析往年的考试真题，增强复习的针对性和时效性。

（作者单位：内蒙古商都县职业技术学校）