园中的多解问题

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圆是一种重要的几何图形.由于点、线与圆的位置关系有多种可能，常会出现多解的情况.因此，解答圆的有关问题时，一定要仔细分析，分类讨论，逐一解答，切忌因思维定势或考虑不周而漏解.现就圆中多解问题举例解析如下，供你学习时参考：

一、点与圆的位置关系不确定产生多解

例1 （2013年盘锦卷）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）.

A.8cm B.3cm C.8cm或3cm D.16cm或6cm

解析：设该点为P，则点P的位置可以在圆内，也可以在圆外，有两种情况.

若点P在圆内，如图1，过P作直径AB，则PA=11cm，PB=5cm，所以直径AB=16cm，此时半径为8cm.

若点P在圆外，如图2，过P、O作直线，交圆于点B、A，则直径AB=11-5=6cm，此时半径为3cm.

所以圆的半径为8cm或3cm.选C.

温馨小提示：若需要自己画图时，要特别注意图形位置关系的多种可能性，防止漏解.

二、两平行弦与圆心的位置关系不确定产生多解

例2 （2013年牡丹江卷）在半径为13的O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（ ）.

解析：没有图形，应根据题意画出图形，圆心可能在两弦的同侧，也可能在两弦之间，有两种情况.

连接OA，OC.作直线EFCD于E，交AB于F，则EFAB.

温馨小提示：当两平行弦在圆心的同侧时，它们之间的距离为两弦心距之差；当两平行弦在圆心的异侧时，它们之间的距离为两弦心距之和.

三、点在直径上的位置关系不确定产生多解

例3 （2013年泸州卷）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）.

温馨小提示：两种解法中，M点的位置关于圆心对称.

四、点在圆周上的位置不同 （或弦所对的圆周角不唯一） 而产生多解

温馨小提示：弦所对的圆周角有两种情况，圆周角的顶点在优弧上，圆周角的顶点在劣弧上.

五、因不确定两圆是内切还是外切产生多解

温馨小提示：已知两圆的半径及公共弦长，求圆心距时，要分两圆圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况讨论.

七、因几何体的旋转方式不同而产生多解

温馨小提示：以直角三角形的边所在的直线为轴旋转时，要分三种情况讨论；设圆锥底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl.

八、因满足条件的圆有不同情形而产生多解

温馨小提示：2013年的中考数学试题，以构造法解题的考题频频出现，我们要好好体会这类题的解法.