分类例析解析法在解题中的应用
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笛卡尔曾经在他的哲学著作《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路，即任何问题数学问题代数问题方程求解。其中，数学问题向代数问题的转化非常明确地指出了解析思想的重要性，在向量、解三角形、立体几何等内容里都有广泛的应用，而且思路清晰，计算简单，是我们在平时教学中应不断渗透的一种思想方法。
例1 （2009安徽）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB,则x+y的最大值是。
解：建立坐标系如图1所示，则A(1,0)，B(－12,32)，设C(m,n）,由(m,n）=x(1,0)+y(-12,32)，得m=x－y2，
n=32y。
又因为m2+n2=1，
所以(x－y2)2+(32y)2=1。
再由参数方程得
x－y2=cosθ，32y=sinθ(0≤θ≤23π)，
所以y=233sinθ，
x=33sinθ+cosθ，
故x+y=3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)，
当θ=π3时，取到最大值2。
点评：本题将问题放在了单位圆中，使得坐标计算非常简单，再应用圆的参数方程使得本题较快地得到解决，当然本题还可以利用基本不等式，比较起来，解析法更容易被同学们所想到。
二、在解三角形中的应用
例2（2008江苏）满足条件AB=2,AC=2BC的ABC的面积的最大值是。
解：建立如图2所示的坐标系，由已知条件得A(1，0），B(-1，0）。设C(x,y),由AC=2BC知，(x+3)2+y2=8，故点C在以D(-3，0）为圆心，以22为半径的圆上。所以，当点C位于圆的最高位置，即高为半径时，ABC取到面积最大值为22。
点评：本题如果用正余弦定理解决的话，计算将会比较繁琐，但是放到解析几何当中，只是阿波罗尼圆的一个特例，条理清晰，方法简单，易于计算。
三、在立体几何中的应用
例3（2009河南商丘二模）在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和BC上的动点（不包括端点），若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为
解：设F(x,0,0）(0
又因为GDEF，
故GD•EF=0，
所以－12x－y+12=0，
即y=－12x+12。
再由|DF|=x2+y2=125x2－2x+1，
得|DF|∈55,1。
点评：空间向量是解决立体几何问题的一种重要手段，使得许多用传统立体几何知识难以解决的问题变得易想，易做。
四、在解不等式中的应用
例4 若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则xy+zt的最小值为 。
解: 若使xy+zt最小，首先使x最小，且t最大，从而x=1，y=10000。令s=1y+z10000，()
y，z满足如下条件：1≤y≤10000，1≤z≤10000，y≤z。
由()，得z=10000(s－1y)，
当其与z=y相切时，s取到最小值。
由10000(s－1y)=y，得y2－10000sy+10000=0，再由Δ=0，得s=150，此时y=100∈1,10000，所以smin=150。
点评：本题为不等式条件下求最值问题，我们可以最终转化为类线性规划问题，使得问题得以顺利解决。
（作者单位：山东省微山县第一中学）