函数图像的平移与对称求解策略

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图形的变换是“课程标准”中新增加的内容，在各地的中考中频繁出现，尤其是近几年，图形变换常与平面直角坐标系中的坐标相结合，让很多学生感到无从下手.这类题背景新颖、形式多变，从注重考查学生的数形结合，到直接运用变换操作的计算题，发展到基于变换操作的综合探究题，甚至是压轴题.考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力、数形结合能力和分析、综合解决实际问题的能力都提出了比以往更高的要求. 其实，我们只要把握平面直角坐标系中点的坐标变换的本质特征，借助数形结合及相关的变换的数学思想及方法，便能发现许多意想不到的解题思路与方法，做到胸有成竹，有的放矢.

一、平面直角坐标系内点的变换本质特征及规律

对于平面直角坐标系内点（x，y）的平移只能是沿x轴方向左右平移或沿y轴方向上下平移.

1. 点的平移规律：

当点P（x，y）沿x轴方向左右平移到A时，只能给x带来变化，即A；其中右移h为正，左移h为负；

当点P（x，y）沿y轴方向上下平移到B时，只能给y带来变化，即B（x，y+k）；其中上移k为正，下移k为负.

点的对称规律：

当点P（x，y）关于x轴对称到点A时，只能给y带来变化，变为y的相反数，即A（x，-y）；

当点P（x，y）关于y轴对称到点B时，只能给x带来变化，变为x的相反数，即B（-x，y）；

当点P （x，y）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即C （-x，-y）.

以上变换规律不但适用于点的变换，而且对于一次函数、反比例函数及二次函数图像的变换均成立与适用.

2.函数图像的平移规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴方向左右平移时，只能给自变量x带来变化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h为正，左移h为负；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴方向上下平移时，只能给函数y带来变化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m为正，下移m为负.

函数图像的对称规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称时，函数y变为y的相反数，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称时，自变量变为x的相反数，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐标系内点、函数图像的变换技巧与拓展应用

例1：阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图像为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图像为直线l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行.

解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图像；

（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出ABC的面积S关于t的函数表达式.

思路点拨：在（1）中，要求出与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，关键在于弄清直线的平移情况.因已知直线平移后经过点P（1，4），不防设一个点M（1，a），通过代入求出a的值，进而确定出平移的方向和单位长；在（2）中，因直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，可知k=-2，进而用有关t的代数式表示出C点的坐标，此时要分类讨论点C的位置，要分两种情况借助面积公式求解出有关面积S关于t的函数表达式.

解析：（1）点M（1，a）是已知直线y=-2x-1上的一点，将x=1代入已知直线得a=-2×1-1=-3，则M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y轴向上平移7个单位，即y=-2x-1+7，化简得直线l的函数解析式为y=-2x+6；

（2） 直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）.

l∥m，直线m为y=-2x+t.C点的坐标为（，0）.

t＞0，＞0 .

C点在x轴的正半轴上.

当C点在B点的左侧时，S=×（3-）×6=9-；

当C点在B点的右侧时，S=×（-3）×6=-9 .

ABC的面积S关于t的函数表达式为：

S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.

评注：平移法则是：当函数的图像向上或向下平移时，原函数的函数值y变为y+k，其中上移k为正数，下移k为负数，而自变量不变.

例2：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

思路点拨：在（1）中，使AQ+QB最短，必须满足两点之间线段最短，即作出B关于x轴对称点P的坐标，进而可知线段AP的距离最短，再求出直线AP与x轴的交点从而得到Q点的坐标；在（2）中，抛物线在平移过程中A、B两点的位置、数量大小关系并没有改变，改变的仅是它们的坐标，要使距离仍然最短，只是将点Q向左平移到点C，从而得到抛物线左移的距离，运用平移规律求解抛物线的解析式，使四边形A′B′CD的周长最短，要进行分类考虑左移与右移.

解析：（1） 将点A（-4，8）的坐标代入y=ax2，解得，将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）．

直线AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）.

（2）①抛物线上A、B两点的位置已确定，要使A′C+CB′ 最短，也就是让点Q沿x轴向左平移到点C，其中CQ=|-2-|=，即将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短.

此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=・（x+）2．

②左右平移抛物线y=x2，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的解析式为y=x+・b+2，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.

评注：平移法则是：当函数的图像向左或向右平移时，原函数函数解析式中的自变量x变为x-h，其中右移h为正数，左移h为负数，而函数值不变.

例3：如下页图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1）：

a.若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的解析式；

b.抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4. 抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

思路点拨：将点B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则说明变量x、y都变为相反数；当点P、M关于点B成中心对称时，要求出C3的解析式关键是求出顶点M点的坐标，而B点坐标为（1，0），利用对称性及通过添加适当的辅助线、全等知识等可得顶点M（4，5），且抛物线C3开口向下，运用顶点式便可求出C3的解析式；在（3）中，抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4 .其实就是P，N关于点Q成中心对称，根据对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标，探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要进行适当的分类考虑：三个角都有为直角的可能，再利用相关的勾股定理等确定其中所设字母m的值，进而求出Q点的坐标.

解析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P（-2，-5）.

点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+2）2-5，解得a= .

（2）a：抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，先自变量x变为y=（-x+2）2-5，函数值y变为y=-（-x+2）2+5；

b：连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G ，点P、M关于点B成中心对称.

PM过点B，且PB=MB，PBH≌MBG，MG=PH=5，BG=BH=3.

顶点M的坐标为（4，5）.

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到.

抛物线C3的表达式为y=-（x-4）2+5.

（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3.点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）.

根据勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①当∠PNF=90°时，PN2+ NF2=PF2，解得m=，Q点坐标为（，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+ NF2=PN2，解得m=，Q点坐标为（，0）；③PN＞NK=10＞NF，∠NPF≠90°.

综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．

评注：解题关键是抓住关于x轴对称、y轴对称和关于某点中心对称的坐标的特点，轴对称是翻折180°，中心对称是旋转180°。抛物线关于x轴对称，实质上就是图像的形状不变，开口方向相反，并且抛物线的顶点关于x轴对称，抛物线在左右平移过程中，实质是抛物线的自变量在变，函数值并没有改变，抛物线在上下平移过程中，实质是抛物线的函数值上下移动，自变量并没有改变。图像绕着某点旋转180°，实质是图像绕着某点成中心对称，关键是要搞清两个对称点之间横坐标的关系，纵坐标的关系.解答图像类的坐标问题，其基本的思想是“数形转换”，把根据已知条件、图形性质求出来的几何量，转化成点的坐标，或者是由坐标转化成几何量时都应注意对点的坐标符号或几何量的确定.