二次曲线上蝴蝶定理演绎蝶身再离枝

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摘 要：李显权先生的《蝶心离枝亦精彩》把蝴蝶定理从蝶心在枝条上推广到蝶心离枝的情形，郝志刚先生的《蝶身离枝更精彩――蝴蝶定理的一般形式》又把蝴蝶定理从蝶身在枝条上推广到蝶身离枝的情形，本文主要将郝志刚先生的一文的蝴蝶定理蝶身离枝的情形推广到一般的二次曲线上.

关键词：蝴蝶定理；二次曲线；蝶身离枝；内接蝶形

李显权先生的《蝶心离枝亦精彩》把蝴蝶定理从蝶心在枝条上推广到蝶心离枝的情形，郝志刚先生的《蝶身离枝更精彩――蝴蝶定理的一般形式》又把蝴蝶定理从蝶身在枝条上推广到蝶身离枝的情形，得到定理1.

定理1 如图1所示，CDGH为O内接蝶形，各边延长线分别交圆的割线AB于点E，F，P，Q，则=.

笔者研读后，在二次曲线上得到了一个相同的结论，现以定理形式陈述如下：

定理2 如图2所示，CDGH为任意二次曲线的内接蝶形，各边延长线分别交二次曲线的割线AB于点E，F，P，Q，（其中E，P，A，B，Q，F顺序不唯一），则=.

证明：若E，P，A，B，Q，F的顺序如图2所示，设E，P，A，B，Q，F的横坐标分别为xE，xP，xA，xB，xQ，xF.

设CD与GH的交点为M，则以AB所在直线为x轴，过点M且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系.设A（a，0），B（b，0），并设过A，B两点的任意二次曲线方程为Ux2+Vxy+Wy2+Rx+Sy+T=0. 当y=0时，x1=a，x2=b，所以Ux2+Rx+T=U（x－a）（x－b）=Ux2－U（a+b）x+abU=0.

设CD的直线方程为y=k1x+m，GH的直线方程为y=k2x+m.

则过C，G，D，H四点的二次曲线系方程为

K（x，y）=Ux2+Vxy+Wy2－U（a+b）x+Sy+abU+λ（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0（λ∈R）（*）

曲线系（*）包括了除（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0之外的任意一条过C，G，D，H的二次曲线方程，也包括由直线CH与DG，或CG与DH组成的退化二次曲线，故曲线系（*）在x轴上有截距xP，xQ.

因此，xP，xQ是方程K（x，0）=0的根. 所以Ux2－U（a+b）x+abU+λ（k1x+m）（k2x+m）=0，

即（U+λk1k2）x2+［λm（k1+k2）－U（a+b）］x+abU+λm2=0.

可得xP+xQ=，xPxQ=.（**）

=?圳=?圳=?圳=?圳a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）=.

由（**）式知

a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）===. 从而有=.

对于E，P，A，B，Q，F的其他顺序的情形，同理可证有=. 因而定理2得证.