巧用坐标系解正余弦不等式

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摘 要： 正余弦不等式即已知角的正余弦范围求角和已知角的范围求正余弦，在三角函数的综合题中常涉及这类计算.人教版教材中是通过画正余弦图像求解，但由于学生存在“恐函”心理，画图像解题效果不理想.本文介绍用“坐标系”法解正余弦不等式，不用画正余弦图像，只要画坐标系就可以解题，解题既快又准确.

关键词： 正余弦图像 “坐标系”法 正余弦不等式

“坐标系”法的依据：

sin（0+2kπ）=sin0=0

sin（ +2kπ）=sin =1

sin（π+2kπ）=sinπ=0

sin（ +2kπ）=sin =-1

把它们体现在坐标系上，得到：

同理可得cosx的坐标系：

学生可以在理解的基础上记住：正弦sinx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：0，1，0，-1；余弦cosx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：1，0，-1，0.

应用一：求坐标轴上角的正余弦值.

例1：计算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°

点评：学生碰到坐标轴上角如：180°、270°的正余弦，要么容易记错，要么用诱导公式推导，或者用三角函数的定义推导，但是如果学生记住以上的坐标系，则解题既快又不会错.

应用二：已知正余弦的范围，求角的范围.

例2：已知y=sinx，x∈R，求满足- ≤y< 的x的集合.

首先用图像法解：

第一种解法：

从图像得出符合条件的集合为：

[2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ）]∪[ +2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）

第二种解法：

从图像得出符合条件的集合为[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

点评：正余弦是周期函数，研究图像时，常取一个周期考虑，然后再加上周期性.正弦的一个周期常取[0，2π]，余弦的一个周期常取[-π，π]，得到上面第一种解法，图像分为三段，答案比较复杂.第二种解法有所改进，取的一个周期是[- ， ]，图像分为两段，答案比较简洁.学生在解题时常会困惑到底该取哪个周期比较合适，反而容易出错.

“坐标系”法：

第一步（准备）：画正弦坐标系，坐标轴按逆时针标上0，1，0，-1；

第二步（画终边）：在一、二象限用实线画正弦值为 的角的终边，在三、四象限用虚线画正弦值为- 的角的终边，此时坐标平面被分成四个区域；

第三步（定区域）：找出正弦值介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出；

第四步（确定角）：在同一周期取定四条终边对应的四个角，遵循原则：按逆时针方向角度从小到大.

结论：[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

点评：本方法最容易错的就是第四步，所以第三步中要用带有逆时针方向箭头的弧线标出区域，目的就是为了区分角的大小.第一象限那条终边对应的角如果取 ，而左边区域箭头指向它，所以第四象限那条终边对应的角要比 小，应取- ，而不是 .

应用二：已知角的范围，求正余弦的范围.

例3：已知- ≤x< ，求y=cosx的取值范围.

第一步（准备）：画余弦坐标系，坐标轴按逆时针标上1，0，-1，0；

第二步（画终边）：用实线画- 对应的终边，用虚线画 对应的终边，坐标平面被这两条终边分为两个区域；

第三步（定区域）：找出角介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出，目的：从小角指向大角；

第四步（观察值）：顺着箭头方向可以看出，cosx的值从 增到1，再从1减到- .

结论：-

点评：用“坐标系”法解已知正余弦的范围，求角的范围和已知角的范围，求正余弦的范围方法大致是一样的，这个方法的优点就是不需要作图，解题速度快且容易做对.

相关练习：

1.计算sin540°+cos270°-cos90°+sin180°.

2.y=3sin（2x+ ），x∈[- ， ]，求y的取值范围.

3.y=2cos（ - ），1

高中数学大部分内容都与函数有关，因此学生“闻函色变”，对与函数有关的知识掌握的也不是很好，产生了“恐函”心理.正弦函数、余弦函数的定义、图像，利用图像解正余弦不等式等知识，学生学起来可能有点吃力.“坐标系”法可以不用画图，方法简单，所求区域用逆时针方向箭头标出，降低了难度，学生容易接受，提高了解题效率.