例说定积分与导数的交汇性试题
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定积分的重要应用之一是求曲面的面积，导数的重要应用之一是求函数的极值、最值，把这两者整合到一起就得到了这样的一类试题：第一步利用定积分求出动曲线围成的曲面面积的函数解析式，第二步用导数的方法求解函数的极值、最值。这样的试题总是让人赏心悦目，诠释了考纲中“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到一定的深度”的考查要求。
例1 如图1，已知曲线y=ax2+bxa
（1）求曲线y=ax2+bxa
（2）当a、b为何值时，S取得最小值。
分析 （1）根据题意，求出a、b的关系式，并用a表示b，然后求出两条抛物线的交点，再用定积分的方法表示出阴影的面积Sa；（2）以导数作工具求出Sa的最小值。
解 (1) 由y=ax2+bx通过点1,2可得a+b=2，即b=2-a，由y=ax2+2-ax与y=-x2+2x联立方程组，解得x1=a1+a ，则它们所围的面积S与a的函数关系为S=ax2+2-ax--x2+2xdx
= 13a + 1x3-12ax2
x10
=13a+1a1+a3-12aa1+a2
=-a361+a2 a
(2) 因为S=-a361+a2a
所以S′=-3a21+a2-a3•21+a61+a4
=-a4+4a3+3a261+a4
=-a2a+1a+361+a4 ，
由S′>0得-3
点评 本题综合考查了利用定积分求曲面的面积以及利用导数求解函数的最值问题，是由几个简单问题组合而成的中等难度的试题。
例2 如图2，在区间［0，1］上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1+S2的值最小。
分析 先用定积分的方法表示出各个阴影部分的面积S1t、S2t，然后求和S1+S2，再利用导数求解S1+S2的最小值。
解 因为S1=t2-x2dx＝t2x-13x3t0=23t3，S2=x2-t2dx＝13x3-t2x1t=23t3-t2+13，
所以S1+S2=43t3-t2+13,t∈0,1，
令ft=43t3-t2+13,t∈0,1，
由f′t=4t2-2t=0得t=0或t=12，
又因为当t∈0,12时f′t≤0；
当t∈12,1时f′t≥0；所以ftmin=f12=14。
点评 本题以动直线与定曲线为背景构造出两块变化的平面区域，考查了定积分与导数的综合问题，可谓简约而不简单。
例3 如图3，设直线y=ax(0
分析 先求出直线与抛物线的交点，再用定积分的方法表示出面积Sa和Ta，然后求和U=S+T，最后利用导数求出U的最小值。
解 当0
又 S =(ax-x2)dx = (ax22-x33)a
0 = a32-a33 = a36，
T =(x2-ax)dx = (x33-ax22)1
a
= (13-a2)-(a33-a32) = 13-a2 + a36，
所以 U=S+T=a33-a2+13，所以U′=a2-12 ，
令U′=0，得a=22，所以当a∈(0,22)时U′
当a∈(22,1)时U′>0；
所以当a=22时，
U的最小值为2-26。
点评 本题在试题的设计上层层递进，不仅实现了定积分与导数知识的自然交汇，同时也具有一定的梯度、难度、区分度，在求解此类问题时，宜步步为营，各个击破。
例4 如图4，已知二次函数y=ax2+bx+c，直线l1∶x=2，直线l2∶y=3tx（其中-1
（1）求y=f(x)；
（2）求阴影面积s关于t的函数y=s(t)的解析式；
（3）若过点A(1,m),m≠4可作曲线y=s(t),t∈R的三条切线，求实数m的取值范围。
分析 （1）根据图像特征，选用两根式利用待定系数法可求；（2）先求出直线与抛物线的交点，再用定积分的方法表示出阴影的面积st；（3）设切点，由导数的几何意义得到x0与m的方程，此方程应有3个解，再以导数为工具研究参数m的取值范围。
解 （1）由图4可知二次函数的图像过点（0，0），（1，0），
则f(x)=ax(x-1)，又因为图像过点（2，6），所以6=2a，所以a=3。
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=3x(x-1)=3x2-3x。
（2）由y=3x2-3xy=3tx得x2-(1+t)x=0，
所以x1=0,x2=1+t,
因为-1
所以直线l2与f(x)的图像的交点横坐标分别为0,1+t , 由定积分的几何意义知：
s(t)=［3tx-(3x2-3x)］dx+［（3x2-3x）-3tx］dx
=31+t2x2-x3t+10+x3-31+t2x22t+1
=1+t3+2-6t， -1
（3）因为曲线方程为s(t)=(1+t)3+2-6t,t∈R，所以s′(t)=3(1+t)2-6，
所以点A(1,m),m≠4不在曲线上。设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足
y0=(1+x0)3+2-6x0,因为s′(x0)=3(1+x0)2-6
，故切线的斜率为
3(1+x0)2-6=(1+x0)3-6x0+2-mx0-1，整理得
2x03-6x0+m=0。
因为过点A(1,m)可作曲线的三条切线，
所以关于x0方程2x03-6x0+m=0有三个实根。
设g(x0)=2x30-6x0+m,则g′(x0)=6x20-6，
由g′(x0)=0得x0=±1。
因为当x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，g′(x0)>0，所以g(x0)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增，
因为当x0∈（-1,1）时，g′(x0)
所以函数g(x0)=2x30-6x0+m的极值点为x0=±1，
所以关于x0方程2x30-6x0+m=0有三个实根的充要条件是g(-1)>0g(1)
解得-4
故所求的实数m的取值范围是
-4
点评 本题考查了二次函数、利用定积分求曲面面积、导数的几何意义、利用导数求最值等知识，实现了函数知识的大交汇，从近年高考的考查趋势看，交汇必将是高考试题命制的一大亮点与趋势，值得大家关注。
（作者单位：福建省惠安高级中学）