函数的单调性在不等式中的应用

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【摘要】解抽象不等式利用函数的单调性脱去对应法则“f”；解具体不等式灵活利用函数的单调性简化计算、避开复杂的分类讨论；利用函数的单调性证明不等式。

【关键词】函数 单调性 不等式 抽象 具体 赋值

函数的单调性是高考的重点和热点内容之一，特别是单调性质的应用更加突出。而函数的单调性、不等式都是高中生的难点。在不等式中合理且灵活利用函数的单调性，会给解决问题带来许多方便，从而避开复杂的计算和繁琐的分类讨论。下面就以下几种题型，谈谈函数单调性在不等式中的应用。

1.利用函数的单调性解抽象不等式

例1：已知奇函数f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x2-3）

解：f（x）是奇函数，f（x-3）

〖JB（{〗-3

所以 的范围是{x|2

评析：解抽象不等式通性通法是：利用用函数的单调性定义的逆用脱去对应法则“f”，解此类问题时，千万不能忽视函数的定义域。

例题2：已知函数f（x） 的定义域为 （-∞， 0）∪（0， +∞）， 且满足条件：

①f（xy）=f（x）+f（y）， ② f（2）=1， ③ 当x>1时， f（x）>0.

（1）求证：f（x）为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集.

解：（1） （2） 解题过程略：f（x）在 （0， +∞） 上是增函数，f（x）在（-∞， 0） 上是减函数

（3）解： f[x（x-3）]=f（x）+f（x-3）≤2 ，

由 ①、② 得2=1+1=f（2） +f（2）=f（4）=f（-4）

1）当时x（x-3）>0 ，即x>3或x

由f[x（x-3）]≤f（4） 得：x（x-3）≤4 ，解得3

2） 当时x（x-3）

由f[x（x-3）] ≤f（-4） 得x（x-3）≥-4 ，解得0

综上所述：原不等式的解集为：[-1，00∪（0，3）∪（3，4]

法二 ：原不等式等价于f[|x（x-3）|]≤f（4）（x≠0，x≠3））， 由f（x） 在 （0， +∞） 上为增函数得：|x（x-3）|≤4 ， 解得原不等式的解集为：[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]

评析： 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题， 其基本方法是赋值法， 应熟练掌握；此题利用若f（x）为偶函数，则f（|x|）=f（x） 的性质简便的多。

2.在具体不等式中，灵活利用函数的单调性会收到预想不到的效果

例3：函数f（x）=1-〖SX（〗2〖〗2x+1〖SX）〗 （x∈R）

（1）判断函数的奇偶性；

（2）用定义证明： 在 上是单调递增函数；

（3）若f（k·3x）+f（3x-9x-2）

解：第（1）（2）问略

（3）原不等式可化为：f（k·3x）

由（2）得f（x） 在R 上是单调递增函数，所以

〖JP3〗k·3x

要使得对x∈R 不等式k

所以，实数 的取值范围为：k

评析：此题虽然函数是具体函数，但如果将k·3x与3x-9x代入f（x）去掉对应法则“f”计算量很大，而利用函数的单调性去掉对应法则，从而简化了运算。

例4：已知函数f（x）=〖JB（{〗x2+1，x≥01，xf（2x）的x的取值范围。

解法一：当x=-1 时，1-x2=0 ，则f（0）=1 ，f（-2）=1无解；

当-10，f（1-x2）>f（2x） 化为（1-x2）2+1>1 ，恒成立，

当00原不等式化为 （1-x2）2+1>（2x）2+1，

当1-x2

综上知： x∈（-1，〖KF（〗2〖KF）〗-1）

解法二：画出函数f（x）〖JB（{〗x2+1，x≥01，x

〖TP11.TIF；%40%40，Y〗由图象可知，若f（1-x2）>f（2x） ，

则〖JB（{〗1-x2>01-x2>2x〖JB）〗 ，

即〖JB（{〗-1

得x∈（-1，〖KF（〗2〖KF）〗-1）

评析：两种方法对比，第二种方法利用函数图象，探究函数的单调性，很巧妙的回避了学生的难点即分类讨论，更简单，更方便。此题方法上较为隐蔽，不是一下子就会想到用单调性去解，要具备这样的能力，平常时要注意一题多解及方法的积累。

3.利用函数的单调性，证明不等式

例5：证明：Inx

解：设f（x）=Inx-x，f'（x）=〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗 -1

由f'（x）=0，得x=1

所以，当x∈（0，1），f'（x）>0，函数f（x）单调递增；

当x∈（1，+∞），f'（x）

f（x）max=f（1）=-1

即Inx

评析：利用函数的单调性证明不等式，解决函数恒成立问题也是常见的题型。此类问题通常是利用导数研究函数的单调性，从而问题得以解决。

总之：利用函数的单调性解决不等式的有关问题时，不仅要掌握常见题的通性通法，而且要灵活运用。解决一些具体函数或者具体不等式时，当计算量大或者过程较复杂时，可以换一种思路，考虑利用函数的单调性会取得预想不到的效果。