且看思维随“叠”舞

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“压轴题之难，难于上青天”，是不少同学面对数学试卷时发出的感叹.了解“游刃有余”典故的同学都会对庄子笔下庖丁解牛的神技留下深刻的印象.其实，解题与解牛在本质上是相通的，以庖丁解牛之道，施之于数学压轴题，同样可以达到游刃有余的境界.

例1（湖北荆门2007）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O，A不重合)．现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P,B,E的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

分析：(1)稍加留意，我们就可看到，在图1中有一个我们在七年级就学过的一个图形关系：邻补角的平分线互相垂直. 进而又可轻易发现另一个重要的图形关系：RtPOE∽RtBPA.由相似三角形对应边的比相等，我们即可得到建立函数所需的等量关系.求出y关于x的函数关系式后，求y的最大值就是我们所熟悉的简单的操作问题了.

(2)由折叠的对称性，可得到两个等腰直角三角形：PAB和POE，进而依据已知条件得到P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．以下的步骤就是我们轻车熟路地待定系数法的应用了.

(3)这里的最大奥妙在于分类讨论思想的运用. 使PEQ是以PE为直角边的直角三角形，这里的直角可能有两个：∠EPQ 和∠PEQ.若是前者，Q就是现存的点B；若是后者，就是过点E且平行于PB的直线与(2)中二次函数图像的交点.而求一次函数的解析式和求两函数图像的交点坐标，又是属于我们所擅长的解方程组的基本技能.至此，看似艰深的压轴题，就在我们思维的刀锋下，迎刃而解了.

解：(1)由折叠的对称性，可知PB平分∠APD，PE平分∠OPF， PD、PF重合，∠BPE = 90∠OPE＋∠APB＝90．又∠APB＋∠ABP＝90，∠OPE＝∠ABP．RtPOE∽RtBAP.＝．即＝． y ＝ x(4－x)＝－x2＋x(0＜x＜4)．且当x＝2时，y有最大值．

(2)由折叠的对称性可知，PAB，POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．

设过此三点的抛物线解析式为y ＝ ax2＋bx＋c，则

解得 y ＝x2－x＋1．

(3)由(2)知∠EPB＝90，即点Q与点B重合时满足条件． 直线PB的解析式为y＝x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， y ＝ｘ＋１．由得

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