高中数学解题反思的探讨
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【摘要】学生反思性学习的形成要靠教师正确的引导和培养，才能让学生逐步形成一种反思的意识 和习惯，并在学习中自觉地、积极地进行反思．课堂教学是教师与学生沟通、交流的主要途径，是培养学生反思习惯的重要时机．
反思是数学思维活动的核心和动力。解题反思就是对解题活动的反思，它是对解题活动深层次的再思考，不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾和重复，而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路和策略等，具有较强的科学研究性质。解题反思是透过精选有限的几道数学题的解析去学会和领悟那种解无数道题的数学内在相关关系——即方法、技巧——数学机智，其目的是认识数学问题的深层次结构及问题本质．最终提高学生的数学能力。
如何在有限的时间内提高数学的解题效率?依据多年的教学经验，我认为引导学生进行解题反思至关重要．解题反思是指从新的角度，多层次、多方位地对问题及解决问题的思维过程进行分析和思考，从而深化对问题的理解．那么，解题后该反思什么呢?
一、反思数学的思想和方法
数学思想方法是数学的精髓所在．在数学学习中对数学思想方法的领悟、掌握和运用十分重要。由于数学思想方法和具体的表层知识相比，更加抽象和概括。而且具有隐蔽性，因此，这个认识过程具有长期性和复杂性．这就决定了领悟数学思想方法必须靠反思．并在反思过程中通过对具体方法的分析、提炼和概括而成。
教师：此题是一道融解析几何、函数、方程、不等式、导数于一体的综合题，研究的核心问题么?在探求解的过程中，运用了哪些数学思想方法?
学生：此题的研究核心是函数问题，主要运用了数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思方程的思想及类比思想。
教师：同学们在探究解法的过程中，搭建起双基的知识网络，通过反思解法和解题策略，总结了数学的思想方法，解题思路更开阔，解题效率也更高。
显然。数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程的思想、类比思想相结合使得问题解决简洁明了，体现了数学思想方法的独特作用。在解题之后主动对解题过程进行反思，分析具体方法背后所隐藏的数学思想方法。并对具体的方法进行／Jn-c。从中提炼出更一般的数学思想方法，并长期坚持下去。逐步加深对数学思想方法概括性的认识，以便灵活运用，有利于数学思想方法的领悟。
二、反思的目的是挖掘题目本质
解题反思不仅是解题过程和结果的正误、方法的优劣、题目的推广等．还要从思维视角引导学生反思解题所用的知识、方法，并寻求它们之间的联系，把握解题的思维起点、层次和规律，探究问题的本质。通过记反思解题日记的形式，及时回顾、总结所学的知识，加深对题目本质的认识．收集一些自己曾经做错或不会做的题目，写出当时的解题思路和解题过程，并附上正确的答案．比较自己当初的想法和正确解答．进行错因分析，并尝试将其归类、推广和引申。在解题教学中．笔者依据自身的教学经验及优秀教学的教学经验，粗浅的归纳出以下几点：
(1)所研究问题和以前的哪些问题是相类似的?
(2)解题思路中关键的是哪几步?自己在探索思路的形成过程中有哪些成功与失败的地方?
(3)哪一种方法最基本、最典型?哪一种最简便?哪一种更巧妙?
(4)解题过程是否正确、圆满?有无增、漏、错、等情况?
(5)若解答正确．能否总结你的解题思路、解题策略、解题方法?
(6)命题是否进行变式、引申和推广?命题的逆命题是否成立?
(7)解题中运用了哪些数学思想方法?
(8)以前是否见过相同或类似的题?这些题的本质特征是什么?你能找到解这类题的通法吗?
(9)通过做这道题，你的收获是什么?你注意到哪些问题?
通过反思让学生明确数学思想方法在解题中的作用。培养其思维的深刻性。
三、在习题讲评时引导学生反思
养成解题后反思的习惯是掌握解题方法的关键环节，教师在讲解习题后应重视对解题思路和方法的反思，反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系，适时地组织诱导学生展开想象，题设条件能否减弱，结论能否加强， 问题能否推广，等等，从而培养学生解题后反思的习惯，达到举一反三的效果． 例如对于习题“已知关于．r的一元二次方程．T一m +2 m—l 一0的两个实数根的平方和为 2 3 ，求 的值”，学生往往在解该题时仅利用一元二次方程根与系数的关系解得的值为“7或一3 ”， 就认为结束了。这时教师应指导学生反思一元二次方程根与系数的关系是在方程有根的情 况下讨论的，必须考虑 是否大 0，从而让学生通过反思牢记凡运用方程根与系数的关系解题时必须确保方程根的判别式 要大于0这一条件．
四、思维定势的破解需要反思。
学生的解题过程实质上是对原有的认知，知识和方法的重新加工，组织的过程，使解题时学生经常机械地照搬过去的经验去解决类似的问题，缺乏思维的灵活性，从而导致解题迷茫或失误。
例2 ：已知集合 x ∈R l a x ％2 x + l = 0 } 恰有一个元素，求a的取值范围。
此题学生非常容易出错， 因为学生看到条件立刻想到一元二次方程， 写出A= 0 ， 则 4 — 4 a = O ，即 a = l 。上述解题过程就是由于学生的思维定势造成的， 没有认真分析方程的形式，最高次项系数为参数时，未能考虑参数是否为O ，从而学生没能分类讨论。
正确解法：
当 a = O时，2 x + 1 = 0 ， 即X - - - - 一了1 ，满足题意；
当 a ~O时，= 0 ，4 — 4 a = O ， 即a = l ，此时x一1，满足题意。
通过对该题的反思，要让学生认识到最高次项含参数的方程，一定要考虑参数是否为0。
如再让学生练习一个，例“集合 A = { 1 ，2 } ，B = { x l a x = l } ，若 B A，求 a 的取值范围”。 在教学中，教师应能不失时机地抓住学生在解题中由于思维的不严谨、对概念理解的不深刻、考虑问题的不全面而导致的错误结果，而有意识地启发、引导学生对解题结果的正误作进一步思考。
总之，一类数学问题，其解法往往是有规律可循的。要想减轻学生负担，让学生从题海中解脱出来，必须教会从解题中及时归纳总结其基本的解题规律，以达到举一反三，寻找知识交汇点，构造有一定深度和广度的数学问题，挖掘问题的背景和内核，设置适当的问题情境．充分暴露学生的解题思维过程．就可以引导学生对解题思路的探求、解题方法的提炼、解法本身所存在的规律、解题中所犯的错误进行反思，通过分析已经解过的题去领悟解题思想，通过解题思想去驾驭并活化数学知识和方法，增强学生数学知识的分析和应用能力，起到举一反三的作用。