例谈“利用绝对值合并分段函数”的技巧

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引例 ?摇（教材（人教A版）必修1第39页习题1.3A组第6题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）.画出函数f（x）的图像，并求出函数的解析式.

答案 图略，解析式为f（x）=x（1+x），x≥0，x（1-x），x＜0.

由此可得更简洁的解析式为f（x）=x（1+|x|）（x∈R）.从而可得本题的一种简洁解法――验证法.

因为奇函数f（x）=x（1+|x|）（x∈R）满足题设的条件“当x≥0时，f（x）=x（1+x）”，又由奇函数的图像关于原点对称，知满足题设的函数f（x）的图像是唯一存在的，所以满足题设的函数f（x）也是唯一存在的，所以f（x）=x（1+|x|）（x∈R）就是所求函数的解析式.

变式 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），求函数f（x）的解析式.

解 因为偶函数f（x）=|x|（1+|x|）（x∈R）满足题设的条件“当x≥0时，f（x）=x（1+x）”，又由偶函数的图像关于轴对称，知满足题设的函数f（x）是唯一存在的，所以f（x）=|x|（1+|x|）（x∈R）就是所求函数的解析式.

例1 求证：函数f（x）=x（x-1），x＞0，-x（x+1），x≤0是奇函数.

一般解法 f（x）的定义域为R，关于原点对称.

又因为f（-x）=-x（-x-1），-x＞0，x（-x+1）， -x≤0，即f（-x）=x（x+1），x＜0，-x（x-1），x≥0；-f（x）=-x（x-1），x＞0，x（x+1）， x≤0，即-f（x）=x（x+1），x＜0，-x（x-1），x≥0.所以f（-x）=-f（x）.所以f（x）是奇函数.

简解 因为f（x）=x（x-1）， x＞0，-x（x+1），x≤0=x（x-1）， x＞0，x（-x-1），x≤0=x（|x|-1）（x∈R），

所以f（x）=x（|x|-1）（x∈R）是奇函数.

定理1 （1） 若F（x）（x≠0）是奇函数，且x＞0时，F（x）=f（x），则F（x）=•f（|x|）（x≠0）；

（2） 若F（x）（x≠0）是奇函数，且x＜0时，F（x）=f（x），则F（x）=-•f（-|x|）（x≠0）.

证明 （1）证法1 当x＜0时，F（x）=-F（-x）=-f（-x）=•f（|x|）；当x＞0时，F（x）=f（x）=•f（|x|）.所以当x≠0时，F（x）=f（|x|）.

证法2 因为F（x）=•f（|x|）（x≠0）是奇函数且满足题设的条件“当x＞0时，F（x）=f（x）”，又满足题设的函数F（x）是唯一存在的，所以F（x）=•f（|x|）（x≠0）.

定理2 （1） 若F（x）是偶函数，且x＞0时，F（x）=f（x），则F（x）=f（|x|）；

（2） 若F（x）是偶函数，且x＜0时，F（x）=f（x），则F（x）=f（-|x|）.

运用坐标平移还可把上面的定理1，2推广如下：

定理3 （1） 若F（x）（x≠a）的图像关于点（a，b）对称，且x＞a时，F（x）=f（x-a）+b，则F（x）=•f（|x-a|）+b（x≠a）；

（2） 若F（x）（x≠a）的图像关于点（a，b）对称，且x＜a时，F（x）=f（x-a）+b，则F（x）=-•f（-|x-a|）+b（x≠a）.

定理4 （1） 若F（x）的图像关于直线x=h对称，且x＞h时，F（x）=f（x-h），则F（x）=f（|x-h|）；

（2） 若F（x）的图像关于直线x=h对称，且x＜h时，F（x）=f（x-h），则F（x）=f（-|x-h|）.

例2 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对于任意的x∈［t，t+2］，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，求实数t的取值范围.

解 由定理1（1），可得f（x）=•x2，x≠0，0，x=0，所以f（x）=x|x|（x∈R）.

由此可得f（x）是R上的增函数，且f（x）=2f（x），所以题意即为“对于任意的x∈［t，t+2］，x+t≥x，即x≤（+1）t恒成立”，也即xmax≤（+1），所以t+2≤（+1）t，解得t≥.所以t的取值范围是［，+∞）.