点击中考最值问题
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2008年中考中，出现了大量求最大值或最小值的试题(以下简称最值问题)．最值
问题涉及到的知识点比较多，应用范围广，同时，最值问题常与运动变化发生关系，难度
系数较大，具有较强的选拔功能，因此，倍受命题人的青睐．所以，加强对最值问题的研
究，对于提高中考成绩具有很重要的意义．最值问题的常用解决方法有：
一、解不等式
不等式表示两个数或式子的不等关系，因此，利用解不等式求最值问题也就顺理成章．
例1 (2008年永州市)某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供
调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把
300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?
解：设还需要调用B型车 x 辆，根据题意，得：
20×5+15x≥300，
解得：x≥1313，由于 x 应为整数，所以 x 的最小值为14．
答：至少还需要调用B型车14辆．
二、计算比较
在有些最值问题中，可以直接通过计算两个数的大小来确定最大值或最小值．
例2 (2008年山东省青岛市)2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观
看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元／张．某旅行社要为一个
旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要
求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张。请你解答下列问
题：
(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程；
(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱?
解：(1)设购买A种船票x张，则购买B种船票(15-x)张，由题意，得
x≥12（15-x），600x+120（15-x）≤5000.
解得5≤x≤203.
因为 x 为整数，所以 x=5，6.
当 x=5时，15-x=10；
当 x=6时，15-x=9.
所以符合题意的购票方案共有两种，分别是：
方案一：购买A种船票5张，购买B种船票10张；
方案二：购买A种船票6张，购买B种船票9张.
（2）当 x=5时，600x+120（15-x）=600×5+120×10=4200（元）；
当 x=6时，600x+120（15-x）=600×6+120×9=4680（元）.
因为4200＜4680，所以购买A种船票5张，购买B种船票10张更省钱.
三、利用几何结论
几何中，有许多结论与最值有关，如两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等，这些结论往往成为求几何最值问题的依据.
例3 （2008年恩施自治州）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含 x 的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值.
解：（1）（8-x）2+25+x2+1；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小.
（3）如图2所示，作线段BD=12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C.
AE的长即为代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值.
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则
AB=DF=2，AF=BD=12，
所以AE=122+（3+2）2=13，
即x2+4+（12-x）2+9的最小值为13.
例4 （2008年咸宁市）如图3，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线.
实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线 l 的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线 l 的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；
归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点P′的坐标为（不必证明）；
运用与拓广：已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线 l 上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标.
解：(1)如图4：B′(3，5)，C′(5，-2)
(2)(b，a)
(3)由(2)得，D（1，-3)关于直线 l 的对称点D′的坐标为(-3，1)，连接D′E交直线 l
于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小．
设过D′、E两点的直线的解析式为 y=kx+b，则
-3k+b=1，-k+b=-4.
解得 k=-52，b=-132.
所以 y=-52x-132.
解方程组：y=-52x-132，y=x.得x=-137，y=-137.
所以所求Q点的坐标为(-137，-137).
四、利用一次函数的性质
一次函数的增减性是解决一次函数最值问题的主要依据．在实际应用中，由于受自变
量取值范围的限制，求最值问题往往充满了变数．
例5 (2008年梅州市)“一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某
市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划
20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据下表提供的信息，
解答下列问题：
(1)设装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y．求 y 与 x 的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆
的安排有几种方案?并写出每种安排方案；
(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费．
物资种类食品药品生活用品
每辆汽车运载量(吨)654
每吨所需运费(元／吨)120160100
解：(1)根据题意，装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y，那么装运生活用品的车辆数为(20-x-y)．
则：6x+5y+4(20-x-y)=100，
得，y=20-2x．
(2)由(1)知，装运食品、药品、生活用品三种物资的车辆数分别为 x，20-2x，x，由题意，得 x≥5，20-2x≥4．
解这个不等式组，得5≤x≤8.
因为 x 为整数，所以x的值为5，6，7，8．所以安排方案有4种：
方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；
方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．
(3)设总运费为W(元)，则
W=6x×120+5(20-2x)×160+4x×100=16000-480x．
因为-480
要使总运费W最少，需 x 最大，即 x=8．
故选方案4．
W最小=16000-480×8=12160元．
最少总运费为12160元．
五、利用二次函数的性质和结论
往年中考中，求二次函数的最值问题，常利用二次函数的最值公式，而2008年的中考，
求二次函数的最值问题出现了许多的变化，如利用求抛物线与坐标轴的交点求最值、利用
二次函数的增减性求最值、利用图形变化中的极点位置求最值等．这些变化为求二次函数
的最值问题增添了许多精彩．
例6 (2008年巴中市)王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线
y=-15x2+85x，其中 y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．
(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
(2)请求出球飞行的最大水平距离．
解：(1) y=-15x2+85x
=-15（x-4）2+165.
所以抛物线 y=-15x2+85x 开口向下，顶点为（4，165），对称轴为 x=4.
（2）令 y=0，得：-15x2+85x=0，
解得：x1=0，x2=8，
所以球飞行的最大水平距离是8 m.
例7 （2008年茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：
销售单价 x（元/件）……30[]40[]50[]60……每天销售量 y（件）……500400300200……
（1）把上表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
解：（1）画图6，由图可猜想 y 与 x 是一次函数关系，设这个一次函数为
y=kx+b（k≠0）.
因为这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，
所以500=30k+b400=40k+b，解得k=-10b=800
所以函数关系式是：y=-10x+800.
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x2+1000x-16000
=-10（x-50）2+9000
所以当 x=50时，W有最大值9000.
所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元.
（3）对于函数W=-10（x-50）2+9000，
当 x≤45时，W的值随着 x 值的增大而增大，所以销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大.
例8 （2008年湖北省宜昌市）如图7，在RtABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.
（1）ABC与SBR是否相似？说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积 y 的最小值和最大值.
解：（1）ABC与SBR相似.
理由：因为PRBC，RS平分∠PRB，
所以∠SRB=45°.
又因为∠B=∠C=45°，
所以ABC∽SBR.
（2）TS=PA.
理由：因为∠TPF=90°，
所以∠TPS+∠APF=90°.
又因为∠PFA+∠APF=90°，
所以∠TPS=∠PFA.
又∠TSP=∠A=90°，TP=PF，
所以TPS≌PFA，所以TS=PA.
（3）设AP=x，则PS=1-x2，那么
y=PT2=PS2+TS2
=（1-x2）2+x2
=54x2-12x+14.
因为54＞0，所以
y最小值=4×54×14-（-12）24×54=15；
当 x=0，即点P与点A重合时，正方形的面积最大，y最大值=14.
（初二）