发挥课本例习题的作用,扎实做好高三数学的一轮复习
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高三数学复习是一项全面、细致、深入的工作,如何进行有效复习,对于每一位刚升入高三的同学来说是非常重要的。下面以函数的图象与性质为例,谈谈如何使用和发挥课本例习题的作用,扎实做好高三数学的一轮复习。
一、 经典例题
【例1】 (2010,江苏)已知函数f(x)=x2+1,x≥0,
1,xf(2x)的x的范围是(-1,2-1).
分析 本题主要考查了分段函数的单调性。初做此题时或许不知如何下手,或者需要适当的分类讨论。如果我们在一轮复习中认真使用教材,并对课本例习题进行有效加工、归纳、组合和引申地话,那么解决此类问题就迎刃而解了。
为解决本题,我们先看《普通高中课程标准实验教材》(数学•必修一,苏教版)中的两题：
题1 已知函数f(x)=x,x≥0
x2,x
题2 已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,且f(a+1)>f(2a),求a的取值范围.(第43页习题21(3)的第4题)
对照、比较我们不难发现它们具有惊人的相似,显然,题1和题2的组合与引申就成了例1,即为2010年的江苏考题。
解 由题意,得：1-x2>2x,
1-x2>0.x∈(-1,2-1).
基于题1和题2,我们还可以得到以下变题：
变式题1 (2011,江苏)已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x
-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.
解 a≠0．
a>0,2-2a+a=-1-a-2a,a=-32,
a
变式题2 (浙江理)已知f(x)=x2,x>0,
f(x+1),x≤0.
则f2+f-2的值为.
答案：5
变式题3 (2011年,辽宁理)设函数
f(x)=21-x,x≤1,
1-log2x,x>1.则满足f(x)≤2的x的取值范围是.
答案：［0,+∞)
变式题4 (2011年,天津理)设函数
f(x)=log2x,x>0,
log12(-x),xf(-a),
则实数a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)．
解 若a>0,则log2a>log12a,即2log2a>0,所以a>1,
若alog2(-a),即2log2(-a)
所以实数a的取值范围是a>1或-1
【例2】 (2009年,江苏)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
(1) 若f(0)≥1,求a的取值范围；
(2) 求f(x)的最小值；
(3) 设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
分析 作为09年江苏试卷的压轴题,主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
其实,本题源于课本第43页第6题的变形。
先看原题：已知函数f(x)=x2-2|x|-1,试判断函数f(x)的奇偶性,并画出函数的图象．
此题,应该说较为容易的,解答略去。下面我们在此基础上进行适当的变形,就会看到解决例2应该是非常容易的。
变式题1 已知函数f(x)=x2-2|x|-1,试判断函数f(x)的单调性．
解答略
变式题2 已知函数f(x)=x2-2|x-a|-1,试判断函数f(x)的奇偶性和单调性．
解 奇偶性的讨论
当a=0时,函数f(x)=x2-2|x|-1,显然有f(-x)=f(x),所以,f(x)是偶函数；
又f(0)=-1≠0,所以,f(x)不是奇函数．
当a≠0时,因为f(1)=-2|1-a|,f(-1)=-2|1+a|,于是,f(1)≠f(-1)且f(-1)≠-f(1),故函数f(x)为非奇非偶函数.
综上得,当a=0时,函数f(x)是偶函数,当a≠0时,函数f(x)为非奇非偶函数.
单调性的讨论
当a>1时,f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,+∞)上是增函数；
当-1≤a≤1时,f(x)在(-∞,-1)，(a,1)上是减函数,在(-1,a),(1,+∞)上是增函数；
当a
变式题3 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 设函数f(x)的最小值为h(a),求h(a)关于a的表达式．
解 (1) 因为f(0)=|a|+1≠0,所以,f(x)不是奇函数．
若函数f(x)是偶函数,则有f(-x)=f(x)得：|x+a|=|x-a|恒成立,即ax=0恒成立,所以,a=0．
所以,当a=0时,函数f(x)是偶函数,当a≠0时,函数f(x)为非奇非偶函数．
(2) f(x)=x2+x+1-a,x≥a,
x2-x+1+a,x
当x≥a时,f(x)=x2+x+1-a
=x+122+34-a
①若a>-12,则f(x)在［a,+∞)上是增函数,所以,f(x)min=f(a)=a2+1；
②若a≤-12,则f(x)min=f-12=34-a．
当x
=x-122+34+a
①若a>12,则f(x)min=f12=34+a；
②若a≤12,则f(x)在(-∞,a)上是减函数,此时最小值为f(x)min=f(a)=a2+1．
所以,当a>12时,a2+1-a-34=
a-122≥0,所以,f(x)min=34+a；
当-12
当a≤-12时,a2+1+a-34=a+122≥0,
所以,f(x)min=34-a．
综上所述,h(a)=34+a,a>12,
a2+1,-12
34-a,a≤-12．
坟墓里有的时间去休息。――厄多斯
例2完美解答：
解 (1) 若f(0)≥1,则-a|a|≥1a
a2≥1.a≤-1.
(2) 当x≥a时,f(x)=3x2-2ax+a2,
f(x)min=f(a),a≥0,
fa3,a
2a23,a
当x≤a时,f(x)=x2+2ax-a2,
f(x)min=f(-a),a≥0,
f(a),a
2a2,a
综上f(x)min=-2a2,a≥0,
2a23,a
(3) x∈(a,+∞)时,h(x)≥1得3x2-2ax+a2-1≥0,Δ=4a2-12(a2-1)=12-8a2
当a≤-62或a≥62时,Δ≤0,x∈(a,+∞)；
当-620,得：
x-a-3-2a23x-a+3-2a23≥0,
x>a.
讨论得：当a∈22,62时,解集为(a,+∞);
当a∈-62,-22时,
解集为a,a-3-2a23∪a+3-2a23,+∞;
当a∈-22,22时,解集为a+3-2a23,+∞．
实战演练
1. 已知函数f(x)=-x2+2x,x＞0,
0,x=0,
x2+mx,x＜0.是奇函数．
(1) 求实数m的值；
(2) 若函数f(x)在区间［-1,a-2］上单调递增,求实数a的取值范围．
2. 已知函数y=loga(-x)(a>0且a≠1)在(-∞,0)上是单调减函数,求函数f(x)=x2-ax+1在区间-2,12上的最大值与最小值．
3. 已知函数f(x)=log31-mx-2x-3,对定义域内的任意x都有f(2-x)+f(2+x)=0成立.(1) 求实数m的值；(2) 当x∈3,4时,求f(x)的取值范围．
4. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 当x∈［-1,1］时,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的范围．
(3) 设g(t)=f(2t+a),t∈［-1,1］,求g(t)的最大值.
【参考答案】
1. (1) 设x＜0,则-x＞0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x＜0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2．
(2) 要使f(x)在［-1,a-2］上单调递增,结合f(x)的图象知a-2＞-1,
a-2≤1,
所以1＜a≤3,故实数a的取值范围是(1,3］．
2. y=loga(-x)(a>0且a≠1)在(-∞,0)上是减函数,a>1.
对于f(x)=x2-ax+1=x-a22+1-a24.对称轴x0=a2>12,
f(x)在区间-2,12上单调递减.
f(x)min=f12=14-a2+1=54-a2,f(x)max=f(-2)=4+2a+1=5+2a.
3. (1) 由f(2-x)+f(2+x)=0得：
log31+mx-x-1+log31-mxx-1=0
即：log3(1+mx)•(1-mx)(1+x)•(1-x)=0,所以m2=1.
又m=1时,函数表达式无意义,所以m=-1,此时f(x)=log3x-1x-3.
(2) f(x)=log31+2x-3,x∈(3,4)时,
y=1+2x-3是减函数,值域为(3,+∞),
所以函数值域为(1,+∞).
4. (1) 令f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入：
得：a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)
=2x,2ax+a+b=2x,
a=1,
b=-1,
c=1.f(x)=x2-x+1.
(2) 当x∈［-1,1］时,f(x)>2x+m恒成立即：x2-3x+1>m恒成立；
令g(x)=x2-3x+1=x-322-54,x∈［-1,1］,则对称轴：x=32［-1,1］,
g(x)min=g(1)=-1,m
(3) g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a-2)t+a2-a+1,t∈［-1,1］,
对称轴为：t=1-2a4.
①当1-2a4≥0时,即：
a≤12；如图1：
g(t)max=g(-1)
=4-(4a-2)+a2-a+1
=a2-5a+7.
②当1-2a412；如图2：
g(t)max=g(1)=4+(4a-2)+a2-a+1=a2+3a+3
综上所述：
g(t)max=a2-5a+7,a≤12,
a2+3a+3,a>12.