高中数学课本例题的扩展教学功能

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教学过程是由教师的教与学生的学所组成的双边活动过程，实质是在教师指导下学生个体的认识过程和发展过程。教材是按照教学大纲编写的，是教师传授知识的主要依据，是学生获得知识掌握技能、技巧的主要源泉之一。教材中所选的例题都是很典型的，是经过精选，具有一定的代表性的，例题教学占有相当重要的地位，搞好课本例题的剖析教学，不仅能加深对概念、公式、定理的理解，而且对培养学生发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能力等方面，能发挥其独特的功效。

而目前数学教学中普遍存在着的弊端是忽视充分发挥教材的教育功能，尤其不能着意开掘教材的潜在教育价值，对"精讲精炼"的片面理解导致"题海战术"的泛滥成灾。为了纠正这种偏向，教师引导学生认真钻研教材，把数学解题教学立足点放在教材上，从教材挖掘题源，进而使教学显示新的活力是至关重要的。现举例简述如下：

一、以课本例题的解法为中心引导学生一题多解，或寻求较简的解法，以开阔学生思路，培养学生灵活应用各种知识的能力。课本上的例题一般只给出一种解法，而实际上许多例题经过认真的横向剖析，能给出多种解法。如果我们对课本例题的解法来一个拓宽，探索其多解性，就可以重现更多的知识点，使知识点形成网络。

例如：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项的和是1220，求前30项的和。(高中数学第一册上P117例4)

解法一：由Sn=na1+d及条件可布列方程，求得a1=4；d=6，所以Sn=3n2+n，从而S30=3×302+30=2730。（这是一种非常好的解法，抓住了等差数列的基本量a1和d，进而求出结果。）

解法二：设Sn=An2+Bn,代入求得：A=3；B=1，所以S30=2730。（此法抓住了等差数列前n项和公式的本质特征，灵活运用公式，突出方程观点，抓住了问题的本质，对公式的认识很深刻。这在以后对等差数列前n项和有关问题的处理中具有较高的应用价值。）

解法三：因为S20-S10=a11+a12+...+a20=5（a11+a20）=1220-310,又a1+a30=a11+a20，从而S30＝3（1220－310）＝2730（此法灵活运用了等差数列的性质及另一求和公式，构思精巧。）

解法四：可以证明:S10,S20-S10,S30-S20，成等差数列，所以2（S20-S10）=S10+(S30-S20)，把S10=310,S20=1220代入解得S30=2730（并给出一般结论：若数列是等差数列，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列，这一结论反映了等差数列的一个性质，用它处理有关问题简洁而明快。）

由上可知数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。

二、以课本例题的内容为中心，充分挖掘它的功能（包括拓广功能、应用功能和模型作用的功能及培养创新意识等各方面），有目的地解答一些综合型的例题，可收到开阔学生思路，提高解题技巧的效果。

例如：已知a,b,m都是正数，并且a

本题初看平淡无奇，仔细分析，就会发现它内涵丰富，应用广泛、令人回味无穷。

1.渗透数学方法

证明：因为a,b,m∈R+。为了证明，只需证明(a+m)b>a(b+m),即证bm>am。而m>0，因此只需证明b>a。因为b>a成立（题设），所以成立。

观察论证的过程，不难发现在论证的过程中暗授了一种探求思路的途径，即执果索因的"分析法"。学习数学方法比学习知识更重要，知识使人受益一时，而方法使人受益终生。

2.隐含几何背景

在直角坐标系中，表示经过A(b,a)和B(-m,-m)两点所成直线的斜率，设其（直线AB）倾斜角为α。

，表示经过A(b,a)与原点O(0,0)的直线的斜率，设（直线AO）倾斜角为β。

由b>a，知A、B、O三点不共线，且A点在直线BO的下方，由平面知识知，故tgβ

3.揭示函数性质

函数f(x)=(a0),可化为f(x)=1+.

a-b

0f(0)

由上可知以课本例题的内容为中心，改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题，那么必将激发学生的学习情趣，培养学生的创造性能力。在"变题"时，应当注意以下几点：①要与"主旋律"和谐一致。即要围绕教材重点、难点展开，防止脱离中心，主次不辩。②要变化有度。即注意审时度势，适可而止，防止枯蔓过多，画蛇添足。③要因材而异。即根据不同程度的学生有不同的"变题"，防止任意拔高，乱加扩充。

三、教材上所列例题，一般都有一定的代表性，如能指导学生认真钻研例题，反复推敲，也能收到广开思路之效。特别是在学了一种新的方法以后，解题要点、书写格式等往往都需要以例题为样板，对课本例题的教学，不能停留在表面，而应既要重结论又要重过程。即分析这个例题从已知到结论涉及哪些知识点，例题中哪些是重点、难点和疑点，例题所用的数学方法和数学思想是什么等等，甚至哪一步是解题关键，哪一步是学生容易犯错误的，事先都要有周密的考虑。

例如：已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，＋∞）上是增函数，求证：f(x)在（－∞，0）上也是增函数。（新教材第一册P62页例5）

这个例题难度虽然不大，但对于刚步入高中的高一学生来说是很难理解其解法的。本例涉及的知识点有区间概念，不等式性质，函数奇偶性，函数单调性；本例重点是比较大小，难点是区间转化，疑点是变量代换；本例所用数学方法是定义法，数学思想是转化思想。本例的成败关键，也就是防止学生犯错误的是如何突破难点和疑点。因为转化思想和变量代换是高中数学的一个质的飞跃，对于高一学生是很陌生和不习惯的。

总之，在数学教学中，若教师有目的、有意识地对课本的一些典型例题进行合理的拓展，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵，这不仅有利于学生掌握基础知识，而且对于培养学生的应变能力、开拓思路、活跃思维等都是非常有益的。