函数的由来

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“函数”一词最初是由德国数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这个词来表示变量的幂，即x2，x3，…，接下来莱布尼茨又将“函数”这个词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量．“函数”这个词从此逐渐盛行起来．

瑞士数学家雅克・柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义．1718年，雅克・柏努意的弟弟约翰・柏努意这样定义函数：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数．

1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”．由此可以看出，莱布尼兹和欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起．

首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”．在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系，即条件的必要性，利用这个关系可以求出每一个x的对应值.

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”

德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数．”

我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代的人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，函数在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数”．

从上面函数概念的演变中，我们可以知道，理解函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．

由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．