平面向量易错题剖析

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平面向量在中学数学里扮演着极为重要的角色.它为用代数方法研究几何问题提供了强有力的的工具，平面向量可以把对几何性质的研究转化为运算来完成.其应用十分广泛，平面向量不但可以解决平移、解三角形问题，还可以进一步解决平面几何、解析几何、力学等问题.平面向量的灵活应用，可以开阔我们的视野，拓宽解题的思路，提高解题的能力，增强思维的广度与深度.

平面向量在高考考查中是必考内容，其中平面向量的数量积这部分还是C级考查要求，对于这部分内容的训练要准确到位.很多同学在遇到平面向量以及利用平面向量来处理其他问题时，经常因为概念掌握不牢或忽视一些其他隐含条件而导致失误.本文就平面向量部分一些易错题进行剖析，希望可以帮助同学们提高解题正确率，减少无谓失分.

易错点一向量基本概念掌握不牢，导致计算失误例1已知ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则a·b+b·c+c·a=.

错解：|a|=1，|b|=2，|c|=3，

|CA|2=|BC|2+|AB|2，

∠B=90°，∠C=60°，∠A=30°，

a·b+b·c+c·a=2cos60°+23cos30°+0=4.

错因剖析：本小题的易错点是向量BC与CA的夹角，不少同学把它当作ABC的内角C了.而事实上，这两个角是互补的.另一个内角A也是如此.

正解：|a|=1，|b|=2，|c|=3，

|CA|2=|BC|2+|AB|2，

∠B=90°，∠C=60°，∠A=30°，

a·b+b·c+c·a=2cos120°+23cos150°+0=-4.

点评：三角与向量是高考考查的热点之一，往往难度不大，属中档题.本题主要考查的是利用向量的夹角来计算向量的数量积，特别要注意向量的夹角与三角形内角的关系.研究向量的夹角一定要注意“共起点”.另外本题也可利用建立平面直角坐标系来解决问题，省去对夹角的研究.

易错点二利用向量解题时，忽视对多种情况的讨论例2已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），求第四个顶点的坐标.

错解：设A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），D（x，y）.

因为四边形ABCD为平行四边形，则AB=DC.

而AB=（4，0），DC=（1-x，-5-y），则1-x=4

-5-y=0，x=-3

y=-5，

点D的坐标为（-3，-5）.

错因剖析：此解错因是由于思维定势，若题目中交代的是平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），求D点坐标，就只有一种情况，此题只给出了平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，就可能有三种情形.

正解：如图所示，设A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），D（x，y）.

（1）若四边形ABCD1为平行四边形，则AD1=BC，而AD1=（x+1，y），BC=（-2，-5）.由AD1=BC，得x+1=-2，

y=-5.

x=-3，

y=-5. D1（-3，-5）.

（2）若四边形ACD2B为平行四边形，则AB=CD2.

而AB=（4，0），CD2=（x-1，y+5）.

x-1=4，

y+5=0.x=5，

y=-5.D2（5，-5）.

（3）若四边形ACBD3为平行四边形，则AD3=CB.

而AD3=（x+1，y），CB=（2，5），x+1=2，

y=5.

x=1，

y=5.D3（1，5）.

综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（-3，-5）或（5，-5）或（1，5）.

点评：本题考查向量坐标的基本运算，中等难度，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论，认为平行四边形只是图中所示的一种情形，因此在解题构思中丢掉了两种情形，从而导致解题不完整.此外，有的同学不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口.也存在部分同学书写格式不规范，一般来讲，同级分类讨论要对齐写，最后要有“综上所述”.

易错点三与向量有关的转化不等价，思维不严谨例3设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

错解：（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te21+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.

向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，

2t2+15t+7

错因剖析：此解错因是转化不等价.当向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角时，它们的数量积小于0，但两个向量的数量积小于0，两向量的夹角不一定为钝角，也可能为平角.也就是说，两向量的数量积小于0仅仅是向量夹角为钝角的必要不充分条件，所以本题还要将两个向量反向共线时t的取值去掉.

正解：（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te21+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.

向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，

2t2+15t+7

假设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ

7=tλt=-1412，λ=-14.当t=-1412时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π，不符合题意.

t的取值范围是（-7，-1412）∪（-1412，-112）.

点评：转化与化归是常见的数学四大思想之一，一般思考的应该是条件与结论之间的充要条件，也就是说，保证在每一步的转化过程中是等价关系.本例同学们解答易出现的问题是仅关注了结论的必要条件，而忽视了其充分性，暴露出思维过程的不严谨.

易错点四根据题意画出的示意图有误，导致错误的发生例4已知O为ABC的外心，若5OA+12OB-13OC=0，则∠C=.

错解：由5OA+12OB-13OC=0，得5OA+12OB=13OC，

两边平方，25OA2+144OB2+120OA·OB=169OC2.

|OA|=|OB|=|OC|=R（其中R为ABC外接圆的半径），

OA·OB=0，即∠AOB=90°，

∠C=45°.

错因剖析：本小题的易错点是没有正确画出示意图，同学们经常画出的示意图表示的是O点满足的条件为5OA+12OB+13OC=0，与本题仅差一个符号，但外心的位置区别就很大.本题中的外心在三角形外面，而同学们习惯把外心画在三角形里面，因而导致失误.

正解：由5OA+12OB-13OC=0，得5OA+12OB=13OC，

两边平方，25OA2+144OB2+120OA·OB=169OC2.

|OA|=|OB|=|OC|=R（其中R为ABC外接圆的半径），

OA·OB=0，即∠AOB=90°，

∠C1=45°，

而∠C1与∠C互补，

∠C=135°.

点评：向量兼具代数的抽象严谨性和几何的直观性，本身是一个数形结合的产物，所以在解决此类问题时，要注意严格结合题意画出示意图，注意数与形的结合、代数与几何的结合，才能最大限度地避免出错.

我们知道，向量是数形结合的产物，在学习中要善于灵活应用数形结合的思想方法研究向量的有关概念与运算，既要善于以向量为工具解决与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合题，又要善于通过向量的坐标表示运用代数方法研究几何问题.以上仅是列举了平面向量部分易错题，未尽详述，然而，爝火虽微，卒能燎原！

（作者：钱晓芳，江苏省白蒲高级中学）