学习梯形的几点注意

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同学们在学习梯形的有关知识时，常会出现一些思维障碍，主要表现为概念不清、有较强的思维定势、不会转化.因此，在学习中，一定要弄清概念，克服思维定势，学会转化.

一、弄清概念

由于课本上只介绍了梯形的定义，没有给出梯形的判定定理，所以，要证明一个四边形是梯形只能用定义法.在证明四边形是梯形时，同学们常犯的错误是只证明了四边形的一组对边平行，而没有证明另一组对边不平行就下结论.

例如图1，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＢＤ，ＡＤ≠ＢＣ．求证：四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

分析：上述例题是徐州市某一年的中考题，错误率相当高，其中的典型错误就是证明ＡＤ∥ＢＣ后，没有证明ＡＢ不平行ＣＤ就直接得出四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形的结论．正确证法如下：

证明：过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｅ．

ＤＥ∥ＡＢ，

∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＣ．

ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＢＤ，ＢＣ＝ＣＢ，

ＡＢＣ≌ＤＣＢ．

∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ．

∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＢ．

ＡＢ＝ＤＣ＝ＤＥ．

四边形ＡＢＥＤ是平行四边形．

ＡＤ∥ＢＣ，ＢＥ＝ＡＤ．

又ＡＤ≠ＢＣ，

点Ｅ、Ｃ是不同的点．

ＤＣ不平行ＡＢ．

四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

在证明某一四边形是梯形时，若证一组对边不平行有困难，可以用梯形定义的等价命题来证明，即证“有一组对边平行且不相等的四边形是梯形”．

二、克服思维定势

在课本上，梯形的有关知识排在平行四边形的有关知识之后，由于同学们反复练习平行四边形的有关知识，记忆比较深刻，所以常常会不自觉地把平行四边形的性质“强加”于梯形上．比如，有的同学误认为“梯形的对角线互相平分且相等”、“直角梯形的对角线互相垂直”等等，这就是思维定势的一种表现．

如何消除思维定势呢？首先，要认真比较平行四边形和梯形的定义．平行四边形是两组对边分别平行，而梯形只有一组对边平行，另一组对边不平行．平行四边形和梯形的地位是相等的，二者没有从属关系．其次，要多做些针对性练习题，特别是多做些有关梯形的定义、性质等的判断题，以巩固对梯形的定义、性质等的理解．

三、学会转化

解答梯形问题的最基本的数学方法是转化，而转化的有效途径是添加辅助线．在有关梯形的问题中，涉及到的辅助线多种多样，究竟应如何添加，同学们常常难以判断．其实，无论怎样添加辅助线，目的都是为了把梯形转化为以前学过的三角形或平行四边形，从而简化问题．常用的辅助线的作法有：

１．平移一腰或平移一条对角线，连结相关的点，则会得到一个三角形和一个平行四边形．若梯形是等腰梯形，平移一腰后得到的三角形为等腰三角形．

２．由梯形底边的两个端点向另一底边或另一底边的延长线作垂线，则会得到两个直角三角形和一个矩形，若梯形是等腰梯形，则得到的两个直角三角形是全等的．

３．延长两腰交于一点，则会得到两个相似三角形．

４．当题目涉及梯形腰的中点时，可将梯形的顶点与腰的中点连结并延长，使其与另一底边的延长线相交，则会得到全等三角形．

综上所述，只要同学们在平时的学习中，扎实地掌握梯形的定义、性质，深入研究图形，总结出一般规律，就一定能排除思维障碍，掌握梯形的有关知识．