两道易错解题错误解法错因分析
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在三角函数问题中，求角的大小是一种常见的问题。此类题型的一般解法是：先求出角的某一个三角函数值，再分析所求角的取值范围，最后再确定角的大小。
例1：已知tan,tan是方程x2 +33 x+4=0的两根，且,∈(-2 ,2 ),求+的值。
错解：tana+ tanb=- 33 , tana×tanb=4
tan(+)= tana+ tanb1- tana×tanb= -33 1-4 =3
又-p2 ＜＜p2 ,-p2 ＜＜p2 , 则 -＜+＜。因此 += - 23 ,或+ = 3
错因分析：解题思路简洁，自然，确实不错。但深入分析,的取值范围就会发现 :
tana+tanb =-33 ＜0, tana×tanb =4＞0
说明tana和tanb同负，则和的取值范围都应是(-p2 ,0)，那么
+的取值范围应是(-,0)，因此 + = - 23p ，而不是p3 。
此题很容易犯错，主要是容易忽视对,取值范围的深入讨论，从而扩大了+的取值范围，导致多出一个解。解题时应注意三角函数值的符号对角的范围也有限定作用，注意不要忽视这方面隐藏的条件。
例2：已知f(x)=ax2-c，且-4≤f(1) ≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
错解：依题意有 -4≤a-c≤-1-1≤4a-c≤5 ，加减消元得 0≤a≤31≤c≤7
即 0≤9a≤27-7≤-c≤-1，则7≤9a-c≤26
因为f(3)= 9a-c，所以 7≤f(3)≤26。【1】
文【1】介绍了两种常见的正确解法，而且也从线性规划的角度指出了错误的原因，但并未说明不等式解法错误的原因及正确解法的道理。
从不等式的角度来看，根据不等式的性质，解题过程好像并没有什么错误，出现这样的结果不是很正常的吗？只是从结果来看，f(3)的取值范围[-7,26]，与正确结果[-1,20]不一样，显然是扩大了取值范围。为什么会这样？怎样造成的？搞不清楚原因，以后遇到这种题型，可能还会这样做，而且根本不知道自己的结果是错的。
根据这种解法，只要检验一下f(3)=-7成立的条件就可发现错误：
若f(3)=-7则必须a=0且c=7，此时a-c=-7＜-4,与已知条件a-c≥-4矛盾。
同理，若f(3)=26，则必须a=3且c=1，此时a-c=2＞-1，与a-c≤-1矛盾。故，f(3)不可能等于-7或26.
解题过程中，不等式组0≤a≤31≤c≤7 没有错，但由此进一步推导9a-c的范围就有问题了，因为a和c并不能在各自的取值范围内任意取值，例如若a=0时，c就取不到7的值。事实上a和c是受到不等式组-4≤a-c≤-1-1≤4a-c≤5 制约的两个互相联系，互相制约的变量，而不是各自独立的两个变量。因此就必须把a-c和4a-c即f(1)和f(2)分别作为一个整体对待，把f(3)用f(1)和f(2)线性表示出来后，再用不等式的性质确定范围就不会犯错，正确的解法1也就很自然了，而且和线性规划的思想方法也是统一的。
参考文献