函数极限教学中的“一题多解”

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摘 要： 求解函数极限有多种方法。在教学中讲解能“一题多解”的例子，尤其一些重要求解方法：利用两个重要极限，洛必达法则，等价无穷小代换等，对培养学生发散性思维和创新思维，增强学生学习高等数学的兴趣能起到很大作用。

关键词： 函数极限 一题多解 洛必达法则等价无穷小代换

函数极限是高等数学教学中的一个重点知识。教学中关键要让学生掌握函数极限的定义和求解方法。函数的求解有多种方法，为了让学生更好地掌握函数极限的多种求解方法，在教学中可以多讲解一些“一题多解”的例子。如若学生在求函数极限时，能做到一题多解，表明学生对函数极限求解的知识掌握透彻，能自如地求解函数极限。如此能培养学生的发散性思维和创新思维，增强学生学习高等数学的兴趣。

现举两个能“一题多解”的例子。

例1.求sinx.

分析：该题是1型的未定式，我们可通过利用重要极限（1+x）=e来求解，也可将sinx化为e来解题。

解法一：利用重要极限（1+x）=e及三角函数和差化积公式来求解。

sinx=［1+（sinx-1）］

（sinx-1）tanx=・sinx

=・sinx

=・sinx=0×1=0

sinx=e=1

解法二：用洛必达法则来求解。

sinx=［1+（sinx-1）］

（sinx-1）tanx===-=0

sinx=e=1

解法三：利用洛必达法则。

sinx=e

tanx・ln（sinx）===-sinx・cosx=0

sinx=e=1

注：解法一利用的是重要极限（1+x）=e来求解，解法二和解法三都是利用洛必达法则。相比较而言，利用洛必达法则求解更为简便。

例2.求.

解法一：利用重要极限=1及等价无穷小代换来解题。

=（・）

x0时，secx-1与x是等价无穷小

=1・=

解法二：利用等价无穷小代换解题。

=

x0时，tanx~x，（1-cosx）~x

=

注：该题的两种解法都是用等价无穷小代换来解题。第二种解法简单些。掌握了这两种解法，能说明学生能灵活地运用等价无穷小代换求解极限。

课堂上举能“一题多解”的例子，能让学生更好地掌握函数极限的求解方法，也能让学生学习高等数学的兴趣得以提高。

参考文献：

［1］同济大学应用数学系.高等数学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

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