滑坡概率分析中降雨的联合概率结构

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摘 要：降雨是降雨型滑坡概率分析和预测的主要输入，以日降雨量和累计降雨量为重庆市降雨的控制参量，建立两者的联合概率模型，为后续分析提供基础。沿用滑坡分析中常用的处理方式，将日降雨量划分等级转化为离散变量，将累计降雨量视为连续随机变量。然后，导出了离散变量和连续变量的联合概率模型，并发展了条件密度变换解及其Dirac δ函数序列逼近。将之用于重庆市累计降雨量的条件密度函数计算，并验证了计算结果的合理性。由于累计降雨量条件密度函数的复杂性，引入混合分布模型对其进行数学建模，形式不太复杂且精度比较理想。最后，结合日降雨等级频度函数与累计降雨量条件概率密度模型建立了联合概率模型。

关键词：滑坡； 概率密度函数； 联合概率结构； Dirac δ函数序列； 混合分布模型

中图分类号：TU312；O213 文献标志码：A 文章编号：16744764（2012）05005707

降雨型滑坡预测方法主要分为2类：基于过程的预测模型（亦称为物理模型）和经验模型。雨水渗入导致岩土体内的孔隙压力增大、有效应力减小和岩土体的抗剪强度降低是降雨型滑坡发生的主要机制[1]。滑坡预测的物理模型则从上述机制出发判断滑坡的状态，即充分考虑降雨数据、降雨入渗过程及其对岩土体的影响，结合岩土体滑坡的稳定性分析，最终确定引发滑坡的降雨量，从而判定滑坡是否发生[29]。然而，该模型所需输入信息，如局部地形条件、岩土的力学参数和水文学参数等都很难准确获得，阻碍了该模型的实际应用[10]。经验模型则部分体现了滑坡产生的机制，仅通过对降雨和滑坡的历史数据进行统计给出滑坡的降雨阈值。模型不同，降雨阈值所采用的控制变量亦不相同，所适用的地区亦不相同。但由于简便易行，经验模型是目前滑坡预测中最为实用的方法。范文亮，等：滑坡概率分析中降雨的联合概率结构〖=〗

本质上，无论是物理模型还是经验模型，均是通过将降雨数据和滑坡的降雨阈值进行对比来判定滑坡的发生与否，只不过前者的降雨阈值是基于物理机制分析得到的，而后者则是通过经验统计给出的。借鉴可靠度理论的概念，滑坡概率Pf可表示为。

式中：Pr{·}表示事件发生的概率；R表示当前降雨数据，类似于可靠度分析中的效应；[R]表示降雨阈值，类似于可靠度分析中的抗力。然而，由于降雨型滑坡影响因素的复杂性，很难由单一控制变量判定，因此R和[R]均为向量，而在可靠度分析中，效应和抗力均为标量。

目前，关于降雨型滑坡的研究主要集中于降雨与滑坡的关系、降雨的入渗和边坡的稳定性分析方面[1116]，即更多地关注[R]，对于降雨数据R的概率描述鲜有研究涉及。笔者力图针对重庆地区的历年降雨数据，建立可用于重庆地区滑坡概率预测的降雨特征的概率模型。

欲建立R的概率模型，必须先将其具体化，明确其分量。文献[10]详细列举了各研究者曾经使用过的控制变量，包括日降雨量、前期累计降雨量、降雨强度和降雨持时等共25种。结合文献[13]和[17]，笔者取日降雨量和前期累计降雨量为控制变量，且取10 d为前期降雨的计算时间段。1 滑坡概率分析

若记日降雨量为R1，10 d累计降雨量为R10，与之对应的阈值分别为[R1]、[R10]，那么式（1）可改写为式（2）。

值得指出的是，现有研究中关于R1、R10的处理方式是截然不同的。日降雨量往往用降雨等级表示，即将R1视为离散变量，而10 d累计降雨量则采用真实的数据，即R10视为离散变量，然后根据日降雨量的不同等级再结合10 d累计降雨量的具体数值判定滑坡状态。

一般而言，根据日降雨量大小可分为4个等级，即等级1（小雨，R1∈[0，10） mm）、等级2（中雨，R1∈[10，25） mm）、等级3（大雨，R1∈[25，50） mm）和等级4（暴雨，R1∈[50，∞） mm）。若记第i个降雨等级为Ei，那么式（2）可进一步改写为

若已知Pr{Ei}·pR10|Ei（y）和p[R10]|Ei（z），则滑坡概率计算颇为简单。本文则着重于关注Pr{Ei}·pR10|Ei（y）的获取。由于Pr{Ei}·pR10|Ei（y）描述了2个变量的联合概率结构，但是此2变量分别为离散变量和连续变量，因此，文中将称之为离散连续混合变量的联合概率结构。2 离散连续混合变量的联合概率模型 由上所述，Pr{Ei}表示事件Ei发生的概率，pR10|Ei（y）则表示随机变量的条件概率密度，本质上仍属于概率密度函数。根据降雨历史数据可以方便地给出Pr{Ei}的统计值，但是欲较为准确地确定pR10|Ei（y）的模型则较为困难。目前应用最为广泛的由采样数据确定随机变量概率模型的方法是假设检验方法。该方法的优点在于可以给出一个简单的可用概率模型，但其确定亦是显而易见的，即只能确定单峰的概率密度模型。然而，由于影响因素的复杂性，现实中的许多随机变量并不能采用简单的单峰，往往呈现出多峰性态。笔者拟由密度变换解获得概率密度函数的近似值，然后引入混合分布模型对其进行建模，并通过回归拟合确定关键参数，最后确定联合概率模型。

2.1 累计降雨量的条件密度变换解及其数值逼近

式中：δρ[·]表示Dirac δ函数序列；ρ为适当小量；N为观测数据数量；H（θq）表示θ取θq时的累计降雨量，H0=maxθ∈ΩHθ，由于累计降雨量已由实测获得，因此H（θq）和H0实际上表示第q个实测样本R10，q和所有实测值的最大值；Pq=p|Ei（θq）Δθq表示点θq的赋得概率，由于概率守恒，其数值等于H（θq）出现的概率。不失一般性，可假设各观测数据出现的概率均等，即Pq=1/N。于是，式（9）可进一步改写为式（10）。

2.2 混合变量的联合概率模型

根据由式（10）获得的条件概率密度函数计算值，可采用如下的混合分布模型对其进行建模，即[19]

重庆市气象局提供了重庆市自1980年至2009年共30 a的小时降雨数据和2003年至2009年间的分钟降雨数据。基于以上数据可获得日降雨量和10 d累计降雨量的联合观测样本共10 818条。其中，日降雨等级为小雨的样本10 007条，日降雨等级为中雨的样本530条，日降雨等级为大雨的样本211条，日降雨等级为暴雨的样本70条。

需指出的是，10 007条小雨样本中日降雨量为0且累计降雨量很小的记录占有很大比例。一方面，这样的降雨基本不会引起滑坡，另一方面，这些数据会极大地引起建模困难。例如，两者均为0的样本约占16.7%，而理论上连续随机变量取任意值的概率均为零。为简单且便于应用，对日降雨等级为小雨时累计降雨量的概率建模时仅考虑了累计降雨量超过20 mm的数据，共3 763条。此时，E1发生时滑坡的概率为

3.2 10 d累计降雨量的概率密度估计

首先，利用条件密度变换解的Dirac δ逼近对降雨等级为小雨实测样本中选取的3 763条累计降雨量超过20 mm的样本子集进行累计降雨量的概率密度估计，结果如图1所示。为验证密度估计的准确性，将其与频数直方图和经验累积分布函数进行了对比。图1（a）和（b）分别表示与等间距直方图和等频数直方图的对比，其中等频数直方图分10个等频率区间，图1（c）表示与经验累积分布函数的比较，下同。不难发现，计算结果和三者均吻合良好。

类似地，可给出降雨等级为中雨、大雨和暴雨时的密度估计，结果分别示于图2～4。通过与直方图、经验累积分布函数的比较可知上述密度估计是合理且准确的。

值得注意的是，图2中等间距直方图和等频数直方图在累计降雨较小时存在着显著差异，甚至体现于图形趋势上。究其原因在于此区间存在大量样本，在等间距直方图内均位于同一条带内，不能描述出更精细的概率变化；而等频数直方图可以较好地弥补了这一缺陷。

3.3 10 d累计降雨量的混合分布概率模型

显然，上述密度估计值是不便于应用的，为此需建立解析的概率模型。

首先，采用常用的概率模型对其进行建模。由于累计降雨量存在明显的边界（即≥0），因此，可尝试用对数正态分布和3参数Weibull分布对其进行建模，建模准则为均值和标准差一致。将不同降雨等级的建模结果与直方图、密度估计结果进行对比，分别示于图5～8，其中（a）图均为与等间距直方图的比较，（b）图则为与等频数直方图的比较。

图6和图7表明此2种情形对数正态分布较Weibull分布更接近于计算结果，但效果均不理想；图8表明降雨等级为大暴雨时无论是对数正态分布还是Weibull分布均与实际分布相差太远。为此需要采用式（11）所描述的混合模型对此三者进行建模。

根据试算，可得到降雨等级分别为中雨、大雨和暴雨时累计降雨量的混合模型分别为式（17）、（18）、（19）。

3.4 联合概率模型

由式（12）可知，欲建立日降雨量与累计降雨量的联合概率结构，除累计降雨量的条件概率密度模型外，尚需确定Pr{Ei}。根据降雨实测数据，可统计出不同降雨等级的频度函数，如表1所示。

将表1的频度函数和第3.3节累计降雨量的条件概率密度模型代入式（12）即可得到重庆市日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。

4 结 论

降雨型滑坡的概率分析和预测中，作为主要输入的降雨是关键参数。笔者以日降雨量和累计降雨量为降雨量的控制参数，结合重庆气象局提供的降雨观测数据，建立了日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。与经典意义上的联合概率结构不同，文中沿用降雨型滑坡分析的习惯，将日降雨量视为离散变量，而累计降雨量为连续变量。在此基础上导出了离散变量和连续变量的联合概率模型和条件密度变换解及其Dirac δ函数序列逼近，并提出了基于上述计算结果建立可用的联合概率模型的思路。然后，将上述思路用于重庆市的降雨数据，建立了适用于重庆地区的日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。

值得指出的是，文中借鉴可靠度概念建立的滑坡概率分析方法思路清晰、简单、直接，但相比较而言，对相关数据的要求却更为严格，除了降雨量的概率模型之外，尚需获得降雨阈值的概率结构。

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（编辑 王秀玲）doi：10.3969/j.issn.16744764.2012.05.010