电磁感应中涉及导体棒的题型
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题型一、单导体棒问题
例1 如图1甲，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为[L]，导轨左端接有阻值为[R]的电阻，质量为[m]的导体棒垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻不计，且接触良好. 在导轨平面上，在一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为[B]. 开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度[v1]匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为[Ff]的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内. 求：
[× × × ×
× × × ×
× × × ×] [甲 乙]
图1
（1）导体棒所能达到的恒定速度[v2]；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多大？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率是多大？
（4）若[t=0]时磁场由静止开始水平向右做匀加速运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其[v]-[t]关系如图1乙，已知在时刻[t]导体棒的瞬时速度大小为[vt]，则导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小是多少？
解析 （1）当导体棒运动速度为[v2]时，整个回路产生的电动势为[E=BL（v1-v2）]
导体棒所受的安培力为[F=BIL=B2L2（v1-v2）R]
速度恒定时导体棒受力平衡，则
[B2L2（v1-v2）R=Ff]
得到[v2=v1-FfRB2L2]
（2）要使导体棒随磁场运动，则棒的速度[v2]应满足[0]
（3）导体棒克服阻力做功的功率为
[P棒=Ffv2=Ff（v1-FfRB2L2）]
电路中消耗的电功率为
[P电=E2R=][B2L2（v1-v2）2R=Ff2RB2L2]
图2
（4）由牛顿第二定律，得[B2L2（v1-v2）R][-Ff=ma]
可见导体棒要做匀加速运动，（[v1-v2]）必须为一常数，设为[Δv]，由图2，得
[k=a=vt+Δvt]
则[B2L2（at-vt）R][-Ff=ma]
解得[a=B2L2vt+FfRB2L2t-mR]
点拨 第⑷问，据题目要求（导体棒做匀加速运动），分析得出（[v1-v2]）应该为一常数，即磁场和导体棒具有相同的加速度，其[v]-[t]图象在图中为虚线，图线斜率为两者加速度，即[k=a=vt+Δvt]，这是该问解决的关键和难点所在.
题型二、双导体棒问题
例2 如图3，间距为[l]、电阻不计的两根平行金属导轨[MN、PQ]（足够长）被固定在同一水平面内，质量为[m]、电阻均为[R]的两根相同导体棒[a、b]垂直于导轨放在导轨上. 一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与[a]棒相连，其下端悬挂一个质量为[M]的物体[C]，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 开始时使[a、b、C]都处于静止状态，现释放[C]，经过时间[t，C]的速度为[v1]，[b]的速度为[v2]，不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为[g]. 求：
图3
（1）[t]时刻[C]的加速度值；
（2）[t]时刻[a、b]与导轨所组成的闭合回路消耗的总功率.
解析 （1）画出等效电路图4，两棒切割磁场均产生电动势，相当于反接，根据法拉第电磁感应定律，[t]时刻回路的感应电动势
[E=ΔΦΔt=Ea-Eb=Bl（v1-v2）]
回路中的感应电流为[I=E2R]，对[a]，据牛顿第二定律，有[FT-F安=ma]
图4
对[C]，据牛顿第二定律，有[Mg-FT=Ma]
联立以上各式，得[a=2MgR-B2l2（v1-v2）2R（M+m）] ，说明[C与a]一起匀加速运行.
（2）解法一：从图中可以看出，单位时间内，安培力对[a]棒做负功，把[C]物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为[b]棒的动能，所以[t]时刻回路消耗的总功率等于[a]棒克服安培力做功的功率，即[P=BIlv1=B2l2（v1-v2）v12R]
解法二：[a]棒可等效为发电机，[b]棒可等效为电动机
[A]棒的感应电动势为[E=Blv1]，闭合回路的总电功率为[P=EI]，联立解得
[P=B2l2（v1-v2）v12R]
解法三：闭合电路消耗的热功率为
[P热=E22R=B2l2（v1-v2）22R]
[B]棒的机械功率为[P机=BIl?v2=B2l2（v1-v2）v22R]
故回路消耗的总电功率为
[P=P热+P机=B2l2（v1-v2）v12R]
点拨 安培力对[a]棒做负功，产生的电能[E电=-W安a]，同时安培力对[b]棒做正功，产生的动能[Ek=W安b]，由于[xa>xb]，则[E电>Ek]，多余的即为电路中焦耳热. 此双杆模型如果撤除[C]物体拉动，给[a]棒初速使之运行，则与在光滑水平面上子弹打击木块模型完全有类似性. 由于子弹的位移大，摩擦力对子弹做的负功多，子弹减少的动能就多，木块的位移小，摩擦力对木块做的正功就少，获得的动能也少. 系统减少的一部分机械能即转化为内能，即系统能量守恒，动量也守恒.
题型三、与力学的综合
例3 如图5甲，一对足够长的平行光滑导轨放置在水平面上，两轨道间距[L]=0.20m，定值电阻阻值[R]=1.0Ω.有一金属杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直且接触良好，金属杆与轨道的电阻均忽略不计. 整个装置处于磁感应强度为[B]=0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现用一外力[F]沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力[F]与时间[t]的关系如图5乙.求：
（1）杆的质量[m]和加速度；
（2）在杆从静止开始运动的20s的时间内，通过电阻[R]的电量.
[甲 乙] [× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×] [6
5
4
3
2
1][0 4 8 ][12 16 20 24 28]
图5
解析 （1）以金属杆为研究对象，据电磁感应定律，有[E=BLv]. 由闭合电路欧姆定律，有[I=ER+r=ER]，由牛顿运动定律，有[F-BIL=ma]，由匀加速运动公式[v=at]，有
[F=ma+B2L2Rat]
在图线上取两点坐标（0s，1N）和（20s，3N）代入方程，解得[a]=10m/s2，[m]=0.1kg
（2）在杆从静止开始运动的20s的时间内，根据法拉第电磁感应定律，有
[E=NΔΦΔt=1×B×12at2×Lt=12BatL]
通过电阻[R]的电量[q=It=ERt=BaLt22R=200C]
点拨 电磁感应中导体棒运动专题往往是与力学、电学一起综合考查的内容，涉及几个方面的知识：一是电磁感应知识，电磁感应研究其它形式的能转化为电能的特点和规律，其核心内容是法拉第电磁感应定律和楞次定律；二是电路知识，要找到电源以及电路的连接，多杆、多框还要理清电源的连接情况；三是涉及力与运动学知识，牛顿运动定律、运动学关系式、动量定律、动量守恒定律、功能关系.
题型四、与电路的综合
例4 如图6，竖直放置的平行金属板[M、N]相距[d=0.2m]，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度[B=0.5T]，极板按图示方式接入电路. 足够长的、间距为[L]=1m的光滑平行金属导轨[CD、EF]水平放置，导轨间有垂直竖直面向里的匀强磁场，磁感应强度也为[B]. 电阻为[r=1Ω]的金属棒[ab]垂直导轨放置，且与导轨接触良好. 已知滑动变阻器的总阻值为[R=1Ω]，滑片[P]的位置位于变阻器的中点. 有一个质量为[m=1.0×10-8kg]、电荷量为[q=2×10-5C]的带电粒子，从两板中间左端沿中心线水平射入场区，不计粒子重力.
（1）若金属棒[ab]静止，求粒子初速度[v0]多大时，可以垂直打在金属板上？
（2）当金属棒[ab]以速度[v]匀速运动时，让粒子仍以相同初速度[v0]射入，而从两板间沿直线穿过，求金属棒[ab]运动速度[v]的大小和方向.
[× × × × ×
× × × × ×][× × ×
× × ×]
图6
解析 （1）金属棒[ab]静止时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为[r0]，有
[qBv0=mv20r0]
垂直打在金属板上，则[r0=d2]
由以上两式，可解得[v0=Bqd2m=100m/s]
（2）金属棒[ab]匀速运动时，感应电动势[E=BLv]
由闭合电路及部分电路知识，可知板间电压
[U=ER+r?R2]
粒子沿直线穿过板间，则粒子受电场力、洛伦兹力平衡，做匀速直线运动，则
[Eq=Udq=qBv0]
解得[v=2d（R+r）v0RL=50m/s]
由左手定则知，粒子所受洛伦兹力方向垂直[M]板，故粒子所受电场力应该垂直于[N]板，由右手定则知，[ab]棒应水平向右运动.
点拨 电磁感应与电路结合问题的分析方法：明确研究对象，弄清物理情景，正确进行受力分析，结合电路特点，找到电源，根据电路连接方式，应用欧姆定律求解. 产生感应电动势的导体相当于电源，产生感应电动势的导体的电阻等效于电源的内阻，电流的方向由右手定则判断，同时画出等效电路.
题型五、能量问题
例5 如图7，足够长的金属导轨[ABC]和[FED]，二者相互平行且相距为[L]，其中[AB、FE]是光滑弧形导轨，[BC、ED]是水平放置的粗糙直导轨. 在矩形区域[BCDE]内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为[B]. 金属棒[MN]质量为[m]、电阻为[r]，它与水平导轨间的动摩擦因数为[μ]，导轨上[A]与[F、C]与[D]之间分别接有电阻[R1]、[R2]，且[R1=R2=r]，其余电阻忽略不计. 现将金属棒[MN]从弧形导轨上离水平部分高为[h]处由静止释放，最后棒在导轨水平部分上前进了距离[x]后静止. 金属棒[MN]始终与两导轨垂直，在通过轨道[B、E]交接处时不考虑能量损失，重力加速度为[g]. 求：
图7
（1）金属棒在导轨水平部分运动时的最大加速度；
（2）整个过程中电阻[R1]产生的焦耳热.
解析 设金属棒刚到达水平轨道时速度为[v]，且此时合外力最大，加速度最大. 当金属棒从斜面上滑下时，在磁场之外，只有重力做功，由动能定理，得
[mgh=12mv2]
到达水平面后，切割磁场产生电流，受安培力和滑动摩擦力，由牛顿第二定律有
[∑Fx=F安+Ff=BIL+Ff=ma∑Fy=FN-mg=0Ff=μFN]
由法拉第电磁感应定律，得[E=BLυ]，电阻[R1]和[R2]是并联关系，由闭合电路欧姆定律有
[I=Er+R并=E32r=2E3r]
联立解得
[α=μg+2B2L22gh3mr]
（2）设金属棒[MN]中的电流强度为[I]，通过并联电阻[R1]、[R2]的电流强度分别为[I1]、[I2] ， 有
[I1]=[I2]=[I2]
由[Q=I2Rt]，得金属棒[MN]上产生的热量
[QMN=4QR1]
整个过程中回路产生的焦耳热为
[Q=QMN+2QR1]
由能量的转化和守恒定律，得
[mgh=μmgx+Q]
[QR1=16mg（h-μx）]
点拨 力做功的过程是能量的转化过程，能量在转化中守恒，导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产生感应电流，机械能或其他形式的能便转化为电能；感应电流做功，又可使电能转化为机械能或电阻的内能等. 电磁感应的过程总也伴随着能量转化的过程，因此在分析问题时，应牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，然后借助于动能定理、功能原理或能量守恒定律等规律求解.