柱体截面不同三角晶格二维光子晶体完全带隙的研究
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摘要: 采用平面波展开法(PWM)，研究以Ge为背景的空气柱构成的三角形结构二维光子晶体的带隙结构，考虑空气柱截面为圆形和六边形2种情况.结果表明：在介电常数和晶格常数不变的情况下，前者比后者更容易形成完全带隙，并且带隙宽度和相对带隙宽度也较大，前者完全带隙的最大宽度是后者的2.4倍，最大相对带隙宽度是后者的4倍.
中图分类号:O734
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)05-0382-04
Study on the Complete Photonic Bandgap in Two-Dimensional Triangular Lattice Photonic Crystal Composed of Different Section Poles
LIAO Xingzhan，LIN Shaoguang,ZHANG Guichun
（Department of Electromechanical Engineering，Jieyang Vocational Technology College，Jieyang 522000，China)
Abstract: The bandgap structure of two-dimensional triangular structure photonic crystal composed of air rods in Ge-dielectric is calculated with the plan wave expansion method. With the circular section pole and the hexagonal section pole taken into consideration, the results indicate that the former structure is easy to form the complete bandgap than the latter in case of fixedness in dielectric constant and crystal lattice constant，and the size of the complete bandgap and that of the relative complete bandgap are also larger. The results also show that the size of the complete bandgap in the former structure is almost 2.4 times as large as the latter and the size of the relative complete bandgap is 4 times as large as the latter.
Key words: two-dimensional photonic crystal; triangular structure; complete band gap; plane wave expansion method
光子晶体是一种介电常数空间周期性变化、晶格常数可与光波长相比、具有光子带隙、能控制光子传播状态的新型人工材料.光子晶体会产生许多有趣的物理效应.利用这些效应人们可以设计多种光子晶体器件，例如：光子晶体光纤、光子晶体滤光器、光子晶体反射镜、光子晶体开关、光子晶体微腔、光子晶体激光器以及光子晶体天线等［1-5］.
光子晶体的一个重要特征是存在光子带隙.尽管三维光子带隙结构具有重要的应用潜力，但是在可见光或者红外线区域制作具有光子带隙的三维光子晶体仍然是一个无法克服的困难.相反地，人们已经在这一区域成功制造了具有光子带隙的二维光子晶体.一般来说，光子晶体的完全禁带宽度越大，且其性能越稳定，就越有应用价值，所以制作具有完全的、带隙宽度尽量大的光子晶体在光子晶体应用领域是一个很重要的研究课题.目前，多种具有完全带隙的二维光子晶体结构已被提出［6-11］.
光子晶体的理论研究的方法有很多种.常用的方法有时域有限差分(FDTD)法［12］、传输矩阵(TMM)法、平面波展开法(PWM)［13］等等.相较其他方法而言，平面波展开法的优点是没有引入假设条件，为带隙结构的计算提供了一个稳定可靠的算法，其编程简单，收敛快.本文采用平面波展开法(PWM)分析三角形结构圆形孔和六边形孔二维光子晶体的带隙结构.
1 理论分析
电磁波在电介质材料中的传播可以由麦克斯韦方程来描述的.根据Mexwell方程组可得到
2 计算模型和计算结果分析
本文以空气柱型光子晶体为例进行能带计算，分析如图1所示的结构模型，背景材料为Ge，介电常数ε=16.在大多数情况下，尽管TM波和TE波各自都存在带隙，但它们很少重合，我们可以通过选择合适的参数获得完全带隙.
首先分析圆形空气柱的情况，取晶格常数a=1μm，空气柱直径d=0.9a.从图2（a）的仿真结果可以看出，在0.3467~0.3903(ωa/2πc)频率范围存在1个完全光子带隙（图中灰色阴影部分），其带隙宽度为0.0436(ωa/2πc)，中心频率为0.3685(ωa/2πc)，相对带隙宽度（相应的绝对带隙宽度与带隙中心频率的比）为11.83%.然后分析空气柱为六边形的情况，取六边形空气柱内切圆直径d=0.9a，经过仿真计算后，从图2（b）我们可以看到完全带隙的宽度比较小，完全带隙向高频方向移动，其带隙宽度为0.0152(ωa/2πc)，中心频率为0.4166(ωa/2πc)，相对带隙宽度为3.66%，是空气柱为圆形时的0.31倍.
为了分析光子晶体的能带结构与空气柱直径的关系，我们研究在固定介电常数（背景材料为Ge，介电常数ε=16）不变的情况下，上面2种结构光子晶体带隙随空气柱直径的变化图如图3所示.
由图3（a）可以看到，当直径为0.362μm时，开始出现H偏振带隙，当直径为0.744μm时，开始出现E偏振带隙，而且它们的数目以及宽度随着直径的变化而变化.相对E偏振，H偏振带隙宽度比较宽，这说明介质中的空气柱这种光子晶体更容易产生H偏振带隙.我们还可以发现在0≤ωa/2πc≤1频率范围内，E偏振带隙和H带隙偏振有3处重叠，分别出现在0.818≤d≤0.998，0.785≤d≤0.831和0.821≤d≤0.842范围内，构成了3个完全带隙.由图3（b）可以发现，采用六边形空气柱后，在0≤ωa/2πc≤1频率范围内，E偏振带隙和H带隙偏振有2处重叠，分别出现在0.867≤d≤0.922和0.914≤d≤0.955范围内，相对圆形空气柱结构，完全带隙宽度比较窄，而且完全带隙向高频移动.
图4给出了上面2种结构完全带隙宽度和空气柱直径的关系.从图4（a）可以看出，当直径d=0.982μm，完全带隙的宽度最宽，宽度为0.1212(ωa/2πc)，相对带隙宽度为25.75%.
另外2个完全带隙的最大宽度分别为0.0225(ωa/2πc)和0.0156(ωa/2πc)，对应的相对带隙宽度分别为3.77%和2.78%.由图4（b）我们可以发现，最大的完全带隙宽度出现在d=0.94μm处，其带宽为0.0501(ωa/2πc)，相对带隙宽度为6.42%，另外1个完全带隙的最大宽度为0.0152(ωa/2πc)，相对带隙宽度为3.66%.比较2者可以发现，前一种结构完全带隙的最大宽度是后一种结构的2.4倍，最大相对带隙宽度是后者的4倍.Padjen等人报导了空气柱截面为圆形、正方形、长方形和三角形4种情况的三角形结构二维光子晶体的完全带隙结构［14］.提出了圆形空气柱更容易产生完全带隙，而且只有当空气柱的直径比较大时才能获得较宽的完全带隙.本文对空气柱截面为圆形和六边形2种情况进行了数值计算，结果符合Padjen等人报导的结论.Leung等人采用多次散射法计算了蜂窝状结构二维光子晶体的带隙结构［15］，背景材料介电常数ε=12.25，空气柱截面为圆形，当空气柱的直径d=0.96a时，获得一个最大完全带隙，其相对带隙宽度约为19%.在本文中，当空气柱截面为圆形，且空气柱的直径d=0.96a时，由图3（a）和图4（a）可知，完全带隙宽度为0.0925(ωa/2πc)，相对带隙宽度为21.52%.
3 结语
采用平面波展开法(PWM)，研究了三角形结构圆形柱和六边形柱二维光子晶体的带隙结构.在固定介电常数和晶格常数不变的情况下，分析了完全带隙宽度随空气柱直径的变化关系，发现前者比后者更容易形成完全带隙，并且带隙宽度和相对带隙宽度也较大，前者完全带隙的最大宽度是后者的2.4倍，最大相对带隙宽度是后者的4倍.这对于二维光子晶体的设计和制作具有重要意义.
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