中学数学实验教学模式的刍议
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[摘要]本文首先依据有关文献界定了数学实验的概念和数学实验教学的内涵,结合具体实例指出了中学数学实验教学的六个环节:情境创设、确定主题和研究步骤、探索性试验、发现规律并提出猜想、猜想的论证与数学化、分享与交流,分析了各个环节在整个实验教学中的作用、主要目的和基本特征。在此基础上,以勾股定理的探索为例系统地实践了中学数学实验教学,最后提出了在中学开展数学实验教学存在的困惑和思考。
[关键词]数学实验 教学 中学
一、引言
长期以来的传统数学观念认为:数学是一种具有严谨系统的演绎科学,数学活动是高度抽象的思维活动,即使需要实验,也只不过是纸上谈兵式的所谓的“思想实验”(欧拉称之为“准实验”)。但著名的数学教育学家G•波利亚指出:“创造过程中的数学,看起来却像是一门试验性的归纳科学。”1977年阿沛尔和黑肯成功地利用计算机解决了“四色问题”,对数学领域产生了巨大影响;20世纪70年代末,我国著名数学家吴文俊先生从中国传统的数学机械化思想出发,创立了几何定理机器证明的“吴方法”,实现了利用计算机进行推理证明的突破。正是由于这一成果的出现,使得数学实验从大学和科研机构的“深闺”走了出来,走进了中学数学的课堂,并逐渐引起重视。
二、数学实验概念的界定和数学实验教学模式的内涵
1.数学实验概念的界定
根据物理实验、化学实验等科学实验的定义,并结合数学学科的特点,我们采用曹一鸣先生对数学实验的概念界定:为获得某种数学理论,检验某种数学思想,解决某类数学问题,实验者运用一定的物质手段,在数学思维活动的积极参与下,在特定的实验环境中所进行的探索、研究活动。
过去在数学教学中所运用的测量、手工制作、实物或教具演示等形式属于数学实验的初级形式,其主要目的在于帮助学生理解和把握数学概念、定理,如利用直尺和三角尺画平行线探索直线平行的条件(如下图)。
而现代数学实验则以计算机软件为应用平台,充分运用现代信息技术,模拟实验环境,引导学生通过操作、实践、试验来探索数学问题的解决,以培养学生发现问题的能力及创新精神为主要目的。
2.数学实验教学模式的内涵
数学实验教学模式,通常由教师或学生自己提出明确的教学情境,教师根据数学思想的发展脉络,依靠一定的实验工具让学生进行发现、探究,进而获得相关的过程体验、情感体验,开发学生的潜能。
数学实验教学模式强调学生的实践与活动,有利于培养学生的创新能力,也符合数学新课程标准的要求,能够从根本上解决知识经济时代对人才的需求与数学教育中忽视创造性能力培养之间的矛盾,与当前社会对数学教育的要求相一致。
三、数学实验教学模式的主要环节及各环节的主要目的和基本特征
数学实验教学模式主要包括以下六个环节:情境创设、确定主题和研究步骤、探索性试验、发现规律并提出猜想、猜想的论证与数学化、交流与分享。笔者结合一则高中解析几何教学案例《轨迹》对上述六个环节加以分析说明,案例使用的软件平台是《几何画板》。
1.情境创设
从实际问题或数学问题出发进行情境创设是实验教学的前提和条件,主要目的是为学生创设思维场景,激发学习兴趣。这一环节以使学生已有数学知识结构与新学习内容发生冲突、产生心理上的学习需要为基本特征。《轨迹》案例采用了利用数学问题创设情境的方法,教师一开始就提出了问题(1):过定点与定圆相切的动圆的圆心轨迹是什么?
2.确定主题和研究步骤
这一阶段是情境创设阶段的延伸和扩展,目的在于明确研究的方向并制定相应的实施步骤,以使学生明晰研究目的要求为基本特征。学生经过简单讨论后认为:①定点位置可能位于圆内、圆上,也可能位于圆外;②相切可以是内切,也可以是外切,从而确定应对定点位置、相切类型进行分类组合讨论。
(由于软件平台无法对图像进行分割处理,故将3.3、3.4、3.5三部分的案例集中于3.5后)
3.探索性试验
探索性试验是数学实验教学模式的主题和核心,以使学生主动参与相应实验,获得与所研究问题相关的数据并清晰描述为主要目的和基本特征。
4.发现规律并提出猜想
这一环节是数学实验教学的高潮,是实验能否成功的关键所在,主要目的是使学生通过数学实验的操作、观察、分析,获得新的信息。它以充分体现学生的合情推理能力为基本特征。
5.猜想的论证与数学化
猜想的论证与数学化是得到正确结论、完成数学实验的关键步骤,目的在于让学生在教师必要的指导下严格论证猜想或举反例否定猜想,从而得到可信的数学结论。这一阶段以学生能够表现求是的学习态度和严谨的逻辑推理能力为主要特征。
(案例部分)学生自己操作点B在圆A内部、外部、圆上,进行实验、观察。(图1)
观察结论1:从数据和红色的轨迹看出,点在圆内部时是椭圆。(图2)
观察结论2:从数据和演示的轨迹看,当动圆P过点B与圆A内切时,是双曲线的右支,当动圆P过点B与圆A外切时,是双曲线的左支。这是很美妙和对称结论。(图3,图4)
结论3:当点在圆上时,动圆圆心轨迹是两条射线。(图略)
教师接着提出问题(2):同时与两定圆相切的动圆圆心轨迹是什么?此问题的实验多样性比问题(1)更加复杂,即两定圆的位置以及相切的类型更多。由于学生对问题(1)得实验探讨取得初步成功,这个问题极大刺激学生探讨结论的好奇心,以及观察数学实验的注意力。
学生进入另一个数学实验:
结论4:两圆外离时,动圆同时外切或同时内切的圆心轨迹是条双曲线;(图8,图9)一个内切,另一个外切时,动圆圆心轨迹也是一条双曲线,但是两条双曲线不同(图6,图7)
(图9)
学生继续进行实验,观察由外离外切相交内含同心圆轨迹的变化情况(图10):
问题3:同时与一定圆和一定直线相切的动圆圆心轨迹是什么?教师不作任何解释,学生自行操作课件做实验:
在学生实验观察的基础上,教师要求:①对于第一个实验,从椭圆与双曲线以及射线的定义,将轨迹形成的原理写出来;②对于第二个实验,根据定义说明为什么是双曲线;③对于第三个实验,写出看到的一种情形的轨迹的形成原因。
6.交流与分享
交流与分享是数学实验过程中不可缺少的环节,主要目的是让学生进行包括师生交流、同学交流、人机交流等多种形式的思想、方法、过程交流和成果展示,以学生的思维得到碰撞、认知和情感得到提升为主要特征。实验结束后,教师要求学生将实验结果的理论推理过程形成实验报告,以文本方式或以电子邮件等方式上交。
需要强调的是:上述六个环节并不是各自独立的,它们是一个有机整体的不同组成部分,分别有着不同的功能和重要性,是断不能将它们截然分开的。
四、数学实验教学模式的实践探索
笔者以杨裕前、董林伟主编的义务教育课程标准教材八年级《数学》(江苏科学技术出版社出版)第二章第一节《勾股定理》为例,选用有张景中院士主持开发的《Z+Z智能教育平台》为软件平台,对中学数学实验教学模式进行了实践。
本节课的教学目标为:1.经历用数格子的办法探索发现勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学重点和难点是勾股定理的实验发现。
1.情境创设。多媒体展示北京ICM2002(北京2002年国际数学家大会)相关资料和希腊毕达哥拉斯诞辰纪念邮票(如右图):
引导学生思考:为什么我国主办的国际数学家大会要选定这个图形作为会徽呢?这个图形是不是有什么特别之处呢?邮票中的三个正方形为什么以黑白方块表现呢?它又为什么以直角三角形的三条边为自身的边呢?
2.确定研究主题和步骤。由创设的情境确定研究主题是直角三角形三边所构成的三个正方形的面积关系,进而探索直角三角形三边的关系,当以“面积出入想补”的思想采取“割”或“补”的方法,利用《Z+Z智能教育平台》的网格整点功能和数据统计功能进行研究。
3.探索性试验。笔者给出了如下图所示的基本框架,其中直角三角形的三个顶点可以在网格整点上变动,但始终保持为直角三角形。学生在基本框架的基础上采用“割”、“补”不同的方法进行试验,软件的数据统计功自动将三个正方形的面积记录到统计表格中。
笔者作为一个合作者、咨询者,积极参与到学生的实验中去,学生在“割”与“补”两种方法上都取得了突破(由于软件将网格整点作为背景显示,无法作为图片拷贝,故上图所采用的是屏幕截图,以下的图形中,将直接使用软件前景的拷贝图片,而省略了其中其余部分,包括网格整点)
4.发现规律并提出猜想。通过实验观察和数据统计,学生很快发现三个正方形面积之间的关系,联想到正方形的面积计算公式,猜想:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
5.猜想的论证和数学化。鼓励学生使用多种方法严格地证明勾股定理,同时强调严格论证对于数学命题成立的重要性。
6.交流与分享。利用校园网的BBS平台交流自己的思想方法、探索过程、实验成果和心得体会,并上交实验报告或小论文。笔者作为交流对象之一为学生提供合作和咨询,引导学生充分发挥创造力,继续深入挖掘勾股定理的内涵。
经过本次实验,学生对勾股定理的理解掌握超出了其他未进行实验的学生,同时学生也加深了对“面积出入相补”这一思想方法的理解,这使得他们在随后进行的单元过关测试中取得了优异成绩。但是,这次实验也对学生产生了一些负向迁移,这一点将在5.5中详细说明。
五、在中学开展数学实验教学的困惑与思考
1.如何处理数学实验用时较多与中学数学课时偏少之间的矛盾
中学数学课程内容多、学时相对较少,为完成教学计划以及应付备受社会关注的中考、高考,时间就显得异常宝贵。数学实验不仅在于对知识本身的探求,还在于知识的应用,因此历时较长。一方面数学实验需要教师事先开发出适合学生进行实验操作的半成品课件,另一方面也需要对学生进行一些方法和操作上的指导,这就与现在的中学数学教学产生了十分明显的矛盾,这个矛盾应如何解决呢?
2.哪些内容适宜开展数学实验教学
中学的数学知识是历史上经历了数百年乃至上千年探索结果的汇编,显然不可能逐一让学生去体验、探索、发现。那么,应当依据什么标准筛选开展实验教学的内容呢?有调查显示代数函数、三角函数、平面几何、立体几何、解析几何是进行数学实验最多的内容,它们占中学数学实验的67.57%,同时70%左右进行数学实验的教师将数学实验用来“激发兴趣”和“客体感知”,而对“概念形成”、“结论推理”和“复习巩固”进行实验的则微乎其微。但事实上,中学生对数学知识的理解很大的障碍在恰恰在于上述三个方面。因此,我们应当依据什么标准选择进行数学实验的内容仍是我们面临的难题。
3.选择软件平台依据什么标准
现今适宜用作中学数学实验教学软件平台的专门软件很多,主要的有以下几种:①国内中学教师较早接触和使用的是《几何画板》,它几乎涵盖了整个中学数学课程的全部内容,操作也较为简单,本文的《轨迹》案例就是由这个软件进行实验的;②由中国科学院张景中院士主持开发的《Z+Z智能教育平台》融合了《几何画板》的优势,所不同的是它“是为中国基础教育改革量身定做的”(张景中语),其中“超级”的含义是软件所提供的各种功能可以像在超级市场购物一样进行随意的组合,加之其所具有的自动化推理功能使得它的应用前景非常广阔,如上述《勾股定理》案例就是利用这个软件进行试验的;③由美国Wolfram研究所开发的《Mathematica》虽然初衷是为大学和科研机构服务,但它良好的表现使得它的在中学数学实验中的应用前景也比较乐观。笔者对比三个软件后认为:在平面几何、解析几何、立体几何等方面,《Z+Z智能教育平台》和《几何画板》以其应用方便、表现形式多样而具有明显优势;而《Mathematica》在处理函数等代数问题方面则技高一筹,如:利用下面的命令组就可以方便地生成如图所示的正弦函数的图像,而这比用《Z+Z智能教育平台》或《几何画板》生成同样图像的操作简单得多。
a=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{"x","y"},
Ticks->{{Pi/2,Pi,(3Pi)/2,2Pi},{-1,1}},PlotPoints->500,
DisplayFunction->Identity];
b1=Graphics[{Dashing[{0.02}],Line[{{Pi/2,0},{Pi/2,1}}]}];
b2=Graphics[{Dashing[{0.02}],Line[{{0,1},{Pi/2,1}}]}];
c1=Graphics[{Dashing[{0.02}],Line[{{3Pi/2,0}, {3Pi/2,-1}}]}];
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d=Graphics[{Text["0",{-0.2,-0.2}]}];
e1=Graphics[{RGBColor[1,1,1],Disk[{0,0},0.05]}];
f1=Graphics[{Circle[{0,0},0.06]}];
e2=Graphics[{RGBColor[1,1,1],Disk[{2Pi,0},0.05]}];
f2=Graphics[{Circle[{2Pi,0},0.06]}];
Show[a,b1,b2,c1,c2,d,e1,f1,e2,f2,DisplayFunction->$DisplayFunction];
此外,还有诸如不依赖于计算机设备单独使用、内置了计算机代数系统和《几何画板》全部内容的TI图形计算器(美国德州仪器公司开发)等,这些软件或设备各有特色和长处,我们在开展实验教学时应当依据什么标准进行软件平台的选择呢?
4.怎样解决学生信息技术操作水平低下与需要对实验软件平台进行熟练操作之间的矛盾
目前由于对学生的考核评价体制没有发生根本性的变化,对学生的信息技术教育流于形式,学生实际的操作水平低下,而进行数学实验却需要对实验软件平台进行较熟练的操作,甚至具有一定的编程基础,这就形成了较为尖锐的矛盾,而且这个矛盾直接影响了数学实验教学的展开,如何解决这个问题是当务之急!
5.如何应对数学实验对学生产生的负迁移影响
虽然学生对数学实验表现出了浓厚的兴趣,但学生进行数学实验前后对其它数学知识却出现兴趣降低、因急于进行实验而忽视其它知识的学习等不良表现。如从对《勾股定理》的数学实验前的操作培训一开始,学生就开始忽视《中心对称和中心对称图形》的学习;实验结束后,学生在很长一段时间内,仍然沉浸在自己探索发现勾股定理的兴奋中,对后继的《平方根》等内容感到乏味、厌烦。这种负迁移效应因数学实验中计算机参与而更加明显,我们应当如何去应对呢?
当然在具体进行数学实验教学时,还出现了其他一些问题,上面列举的仅是一些具有典型代表性的,也是我们最企盼得到指导和帮助的。
六、结束语
“计算机的使用,正在改变数学的性质,数学正在成为一门‘实验科学’。”数学实验教学是一种崭新的教学模式,是现代数学发展的必然产物,也是培养学生数学创新能力的重要途径。因此我们应当注重在实际教学中讲数学实验教学模式加以研究和深化,以使它具有更强的生命力。
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