另辟蹊径 巧妙解题

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一次函数和反比例函数是初中数学两种重要的基本函数，也是各地中考的重要内容. 此类题目的呈现方式比较多，其中蕴含了一些巧妙的思想方法，为同学们的解题提供了一定的思考空间. 下面以几道近年的中考题为例，谈谈如何巧解关于一次函数和反比例函数的问题，以期对同学们的复习有所帮助.

类型一 巧解反比例函数中的面积问题

例1 （2011・陕西）如图1，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此题的一般解法可设A点坐标为

-，m，B点坐标为

，m（m>0），求出AB=，进而求得ABC的面积为・m・=3. 实际上如果利用同底等高，将ABC的面积转化为ABO的面积，再利用k的意义，会更简单.

解：连接AO、BO，则SABO=SAPO+SBPO，由反比例函数y=中k的几何意义，可知SAPO==2，SBPO==1，所以SABC=SABO=3.

【点评】对于双曲线y=（k≠0），k有很重要的意义. 双曲线上任一点（x，y）到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形面积为x・y=xy，也就是说k的几何意义是双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积. 因此在解决有关反比例函数中的面积问题时，要充分利用k的几何意义，从而达到巧解的目的.

类型二 巧解取值范围问题

例2 （2012・四川宜宾）如图2，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数y2=（k≠0）的图像交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1>y2，则x的取值范围是______.

【分析】我们首先想到是将一次函数和反比例函数的解析式求出，然后解不等式，但是出现了分式不等式（或二次不等式），同学们不会解，思路受阻. 此时我们可以借助函数图像，利用数形结合的数学思想，巧妙地将y1>y2在图像上体现为一次函数的图像在反比例函数图像的上方的部分.

解：由图像知，y1>y2的部分包括反比例函数的图像在第三象限时和在第一象限内的A、B两点之间，所以x的取值范围是x

例3 （2013・甘肃兰州）已知A（-1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1>y2，则m的取值范围是（ ）.

A. m0

C. m>- D. m

【分析】此题常规解法可将A（-1，y1）、B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出y1与y2的表达式，再根据y1>y2，列出关于m的不等式即可解答. 本题若结合反比例函数的图像与性质求解，则更简捷.

解：双曲线y=的图像当k>0时，图像在一、三象限，当ky2，只能是图像在二、四象限的情况，所以3+2m

【点评】解决此类求不等式成立的自变量取值范围的问题，通常可以利用数形结合的数学思想进行转化，达到巧解的目的.

类型三 巧设点的坐标

例4 （2013・广西南宁）如图3，直线y=x与双曲线y=（k>0，x>0）交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k>0，x>0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本题可首先求出平移后直线的解析式，然后分别联立方程组求出点A和点B的横坐标，根据OAE∽BCF可得A、B的横坐标的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 实际上，根据相似三角形的比例性质得出A、B的横坐标的比等于OA∶BC后，可以巧设A、B的坐标分别为m

，m、

，+4（m>0），再根据双曲线上点的坐标特征，列方程求出m的值，进而求出k的值.

解：直线BC的解析式为y=x+4. 过点A作AEx轴，垂足为E，过点B作BFy轴，垂足为F，容易得到OAE～BCF，则=，由于OA=3BC，所以OE=3BF，即A点的横坐标为B点的横坐标的3倍，因此由题意可以设A、B的坐标分别为m

，m，

，+4（m>0），而A、B两点都在双曲线y=上，可得m・m=・

+4，解得m=3，所以k==.

【点评】此类题目较难，可以根据点的坐标之间的关系，巧设点的坐标求解，从而达到简化计算的目的.

类型四 巧用对称性

例5 （2013・湖北鄂州）已知正比例函数y=-4x与反比例函数y=的图像交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为______.

【分析】本题可先根据正比例函数的解析式求出A点坐标，进而求出反比例函数的解析式，然后将两函数联立，解方程组得出B点坐标. 实际上，正比例函数图像和反比例函数图像的两个交点是关于原点对称，求出A点的坐标后，直接利用此对称性可求出点B的坐标.

解：由点A（x，4）在y=-4x上，可求出A点坐标为（-1， 4），由对称性可知B点的坐标为（1，-4）.

例6 （2013・陕西）如果一个正比例函数的图像与一个反比例函数y=的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值为______.

【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像的交点坐标关于原点成中心对称，可以得到x1和x2、y1和y2分别是互为相反数的关系，然后代入所求式子化简，再根据图像上点的坐标的特征求值.

解：由对称性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A点在y=的图像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【点评】反比例函数图像与正比例函数图像都关于原点成中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，巧用这种对称性是解决此类问题的关键.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）