“三线”教你解三角

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三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解“三线”的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用，因此地位尤为突出.

一、三角形角平分线的用法

用法1直接应用角平分线的性质

例1如图1，点I是ABC的内心，AI交ABC的外接圆于点E，交边BC于点D，连接BE．

求证：EB=EI.

分析：由于线段EB和EI有公共端点E，所以要证EB＝EI，只要证明线段EB和EI围成的三角形是一个等腰三角形，即连接BI，证明∠EBI＝∠EIB即可．已知点I是ABC的内心，它是三角形三条角平分线的交点，借助AI和BI是角平分线即可证明．

证明：连接BI．

点I是ABC的内心，

∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI．

∠EBC=∠CAE，∠EBC=∠BAE．

∠EBC+∠CBI=∠BAE+∠ABI，

即∠EBI=∠EIB，EB=EI．

评注：本题中确定线段间的关系，可充分利用内心是三角形三条角平分线的交点这一条件，将证明线段的问题转化为三角形的问题解决．

用法2在角的两边截取相等的线段

例2如图2，已知ABC的角平分线AD交BC于点D，且∠ABC=2∠C， AB=4 cm，BD=3 cm，求线段AC的长．

分析：只要将线段AC与已知线段AB和BD联系起来，问题就能得到解决，利用∠BAD与∠CAD相等，可在∠BAC的两边截取相等线段，如在边AB所在的射线上截取AE=AC，可得AED≌ACD，只要证明BDE是等腰三角形即可.

证明：延长AB到E，使AE=AC，连接DE．

ABC的角平分线AD交BC于点D，

∠BAD=∠CAD．

又AD=AD，ADE≌ADC.

∠E=∠C．

∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠BDE，

∠E=∠BDE，BE=BD=3.

AC=AE=AB+BE=AB+BD=4+3=7cm．

评注：当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，我们可根据图形的结构特征挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形．

用法3向角的两边作垂线

例3如图2，在ABC中，PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线，求证：∠1=∠2.

分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PEAB，PGAC，PHBC，易证PE=PH，PH=PG，从而得出PE=PG．

证明：过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PHBC于点H．

P在∠EBC的平分线上，PEAB，PHBC，

PE=PH.

同理可证PH=PG.

PG=PE.

又因为PEAB，PGAC，所以PA是∠BAC的平分线，

所以∠1=∠2.

评注：本题巧妙地利用了角平分线的性质定理和判定定理.

用法4向角的一边作平行线

例4如图4，已知ABC的角平分线AD交BC于点D．求证： =．

分析：由于线段BD和CD在一条直线上，过点C作CE∥AB交AD延长线于点E，就产生了相似三角形，得到 =，借助平行线和角平分线定理可得CE=AC，从而得证．

证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．

ABD∽ECD，∠BAD=∠E，

=．

AD是ABC的角平分线，

∠BAD=∠CAD，

∠CAD=∠E，AC=CE.

=．

评注：根据题设和图形特征，恰当添加辅助线，巧构相似三角形，不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于创新思维的培养．

二、三角形中线的用法

用法1利用中线证相似

例5如图5，RtABC中∠BAC＝90°，ADBC，垂足为点D，延长ABD的中线BE交AC于点F，过点F作FHBC于点H．求证：FH2=AF・CF．

分析：要证FH2 =AF・CF，易想到证明它们围成的CFH、AFH相似，但CFH为直角三角形，AFH为钝角三角形，显然不相似.考虑到AD∥FH，故延长HF交BA的延长线于点G，借助点E为AD的中点，易知点F为GH的中点，只需证AFG与HFC相似即可得到要证的结论．

证明：延长HF交BA的延长线与点G．

ADBC，FHBC，

∠ADB=∠GHB=90°，AD∥GH，

ABE∽GBF，BDE∽BHF，

= ，= ，

=．

AE=DE，GF=HF．

又∠GAF=∠FHC=90°，∠AFG=∠HFC，

AFG∽HFC.

= ，即FH2 =AF・CF．

评注：解决这类问题的总体思路是采用综合法或分析法，即根据已知条件推导结论或根据结论进行逆推，探索结论成立所须的条件．

用法2利用中点证全等

例6如图6，已知在ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过点D作DF∥AB交AE于点F，且DF=AC.求证：AE平分∠BAC．

分析：DF∥AB，可知∠BAE=∠DFE．要证AE平分∠BAC，就转化为证∠DFE=∠CAE．利用点E为DC的中点，过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H，既可得到∠DFE=∠H，又可得到DEF≌CEH，从而可得DF=CH=AC，得到∠CAE=∠H，从而得证AE平分∠BAC．

证明：过点C作CH∥DF交AE的延长线于点H．

∠DFE=∠H．

又DE=CE，∠DEF=∠CEH，

DEF≌CEH，DF=CH．

DF=AC，AC=CH，

∠CAE=∠H，∠DFE=∠CAE．

DF∥AB，∠BAE=∠DFE．

∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．

评注：本题从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，题设层层递进，从而考查分析问题、应用数学模型解决问题的能力．

用法3利用中线作中位线

例7如图7，AD是ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点．则的值为（）．

A．1B．C．D．

分析：要求AF与FC的比值，可借助题目中的中点，转移AF或CF．如果取BF的中点H，则DH为BCF的中位线，且可求得DH=AF．易求=．

证明：取BF的中点H．

在BCF中，点D为BC的中点，点H为BF的中点，

DH为BCF的中位线，

DH= CF，且DH∥AC，

∠HDE=∠FAE．

又∠DEH=∠AEF，AE=DE，

DHE≌AFE，DH=AF.

=，故选B．

评注：本题的解决方法较多，上述解法不仅用到利用中点作中位线，还用到利用中点作全等．

三、三角形高的用法

用法1直接运用高的定义

例8如图8，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PEAC，PFBD，垂足为E、F，则PE+PF的值为_________．

分析：由于P是AD上不与A、D重合的一动点，故PF和PE的值不确定．连接PO后， PE和PF分别为APO和DPO的高，在两个三角形中运用面积即可求得的PE＋PF的值．

证明：连接PO．

在RtACD中，由勾股定理可得，AC=5．

在矩形ABCD中，AO=DO= AC=．

SADO=SAPO +SDPO= AO・PE+ DO・PF

=（PE+PF）．

又 SADO= S矩形ABCD = ×3×4，

（PE＋PF）=×3×4，即PE＋PF=．

评注：本题充分利用高的定义，结合三角形的面积，求得PE＋PF的值.本题的实质是求等腰三角形底边上一点到两腰的距离和．

用法2利用定理转化问题

例9如图9，在ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G为垂足．

求证：G是CE的中点．

分析：AD是ABC的高，则ABD和ACD均为直角三角形.由于CE是ABC的中线，则点E为AB的中点，在RtABD中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DE= AB=BE.利用DC=BE可得DE=DC，从而利用等腰三角形三线合一定理可证．

证明：连接DE．

AD是ABC的高，ABD为直角三角形．

CE是ABC的中线，则点E为AB的中点，

DE= AB=BE．

DC=BE，

DE=DC，

DGCE，由等腰三角形三线合一定理可知，G是CE的中点．

评注：利用定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）的关键在于一是要有直角三角形，二是要找到斜边的中点.

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