灰色马尔可夫模型在广东旅游人数预测中的应用

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【摘 要】基于广东2005～2011年广东入境旅游人数数据，采用灰色GM（1，1）预测模型动态模拟广东入境旅游人数变化态势，并运用马尔柯夫状态转移矩阵对灰色GM（1，1）模型的模拟结果进行修正，以提高预测精度。

【关键词】GM（1，1）模型；马尔科夫状态转移矩阵；预测

灰色系统预测主要用于时间短、数据资料少、波动不大的预测问题，对随机波动性较大的数据序列拟合性较差，预测精度较低。马尔可夫链预测的对象是一个随机变化的动态系统，马尔可夫链反映了各种随机因素的影响程度，它适合于随机波动性较大的预测问题。但是马尔可夫链预测方法要求时间序列具有平稳过程的特点，然而预测对象常常是随时间变化而呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，这样正好采用灰色GM（1，1）模型对时间序列进行拟合，找出其变化趋势，弥补了马尔可夫链预测的局限性。

一、灰色-马尔可夫组合预测模型

（1）建立灰色GM（1，1）模型，求得GM（l，1）模型的预测曲线为■(x)，目的是对原始数列进行趋势化处理。（2）划分状态。对一个符合n阶 ,马尔可夫非平稳随机序列■(x)，其划分状态采用相对值： ， 其中相对值的计算方法是，以实际值y(k)除以趋势值■（k） 再乘以100%，于是以■×100％为相对值。关于状态Ei的含义、状态划分的数目和灰元 ， 的确定，可根据研究对象不同而赋予不同的内涵。（3）状态转移概率的计算和状态转移概率矩阵的构造。将数据序列分为若干种状态，记为，E■,E■,…,E■，将可能发生转移的时间记为t■,t■,…,t■。数据序列由状态Ei经过m步转移达到状态Ej的转移概率为P■■，其计算公式p■■=m■■/Mi，式中m■■为状态式经m步转移达到状态E■的次数，为状态m■■出现的次数。由m步转移概率p■■可得到m步转移概率矩阵

P■=■P■■ P■■ … P■■… … … …P■■ P■■ … P■■ ，由转移矩阵P（m）和初始状态E1，则可以确定马尔可夫过程。（4）计算预测值。确定了预测值的相对值的变动区间 ，可以用灰区间的中心值作为系统未来时刻预测值的相对值，即 ，最终预测值为 。

二、广东入境旅游人数的模拟与预测

（1）数据来源。选取2005年到2011年的广东入境旅游人数时序数据建立模型，利用Eviews6.0和Matlab7.0软件对数据进行相应的计算，预测2012年广东入境旅游人数，用以判定模型的预测效果。所选取数据来自广东省旅游局网站。（2）模拟与预测。选取2005～2011年广东入境旅游人数为原始时间序列数据（见表1），为了消除序列的随机性，对原始数据进行了一次累加，生成累加序列X（1）（k）。

根据灰色建模步骤残差修正后的响应方程为:X(t+1)=560.232e■-381.628。结合马尔可夫预测模型，根据实际值X■（t ）与残差GM(l，1)～■■■（t ）的比值得出相对变化率划分状态(见表2)。

对表2的相对变化率进行马氏性检验，判断其是否能进行马尔可夫预测。首先确定转移频数矩阵：■。其次确定转移概率矩阵：p■■ =■。计算统计量的值为9.432，在显著性水平为0.1时的临界值为7.7787，所以得到的统计量的值大于临界值。原假设广东入境旅游人数序列不具有马尔科夫性被拒绝。因此，现在的广东入境旅游人数序列具有马尔科夫性，可以利用一步转移概率矩阵进行预测。根据一步转移概率和状态划分求得灰色马尔可夫预测模型，如表3所示。

由表3可得残差GM（1，l）的平均相对误差为1.567%，灰色马尔可夫预测模型平均相对误差率为0.756%，可见使用灰色马尔可夫模型的精度比单纯使用灰色模型的要提高，因此，可用该方法进行预测。预测2011年广东入境旅游人数，编制预测表。根据状态转移概率矩阵，选取距离预测年份最近的3个年份，按距离预测年份的远近，转移步数分别定为k=1，2，3。计算进出口额实际值与残差好M（1，1）拟合值比率的各阶自相关系数，得到r1=0.89032，r2=0.79821，r3=0.68766，对各阶自相关系数进行归一化处理后的权重为W1=0.375，W2=0.336，W3=0.289。所以2步转移概率矩阵p■■=■ ，3步转移概率矩阵p■■=■。又由2011年处于E3，结合上面可以计算出2012年位于状态E3的可能性最大，因此可以计算出其预测值为 ■[0.9■■(7)+0.95■■(7)]=803.262万人。

三、结语

本文建立了广东入境旅游人数的灰色马尔科夫预测模型，该模型是对GM（1，1）模型的改进。从理论和应用实例看，该方法较为简单、易行，数据要求不高，能够解决历史数据较少、估算精度偏差较大等问题。很多研究应用GM（1，1）进行各种预测研究，该方法比较适合指数增长的预测，而实际广东入境旅游人数增长并非是指数形式，因而造成一定的预测误差，而马尔科夫预测随机波动规律有一定的优势，运用马尔科夫状态转移矩阵对灰色预测进行修正，可以使两种方法优势互补，从而提高了预测的精度。目前预测理论在社会的需求中不断的发展，遗传算法、混沌理论、人工神经网络、数据挖掘、模糊分析等都是较先进的优化算法，具有极高的预测精度，可以很好地处理多种常规方法难以处理的问题。尤其是在数据贫乏、难于建立数学模型的情况下，更能充分体现这些预测理论的优点。这些新预测理论的出现和使用极大提高了预测精度和工作效率，为预测理论的发展开拓了新的思路和广阔的前景。

参 考 文 献

[1]邓聚龙．灰色理论基础[M]．武汉：华中科技大学出版社，2002

[2]蒋承仪．灰色马尔柯夫预测模型[J]．重庆建筑大学学报．1996，18：1～3

[3]姚作芳．马尔科夫方法修正的灰色模型在吉林省粮食产量预测中的应用[J]．地理科学．2010，6：452～457

[4]张国帅．基于累积法的灰色马尔科夫预测模型及其应用[J]．统计与决策．2011，24：159～161