利用特征根法求两类数列的通项公式

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命题1：在数列{a}中a，已知首项a，且n≥2时，a=pa+q（p≠1，q≠0），则称方程x=px+q为数列{a}的一阶特征方程，其特征根为x=，数列{a}的通项公式为a=（a-x）p+x.

由以上命题可知，对于递推关系形如a=pa+q（p≠1，q≠0）的数列可以通过解特征方程x=px+q，构造等比数列{a-x}，求{a}的通项.

当p=1时，数列{a}为等差数列，当q=0（p≠0）时，数列{a}为等比数列.

例1：（2007.全国Ⅱ.21）设数列{a}的首项a∈（0，1），a=，n=2，3，4…，

（1）求{a}的通项公式x=；

（2）设b=a，证明b＜b，其中n为正整数.

解：（1）解方程x=，得x=1，

所以a=，

可化为a=-（a-1），

于是a=（-）（a-1），

a=-（）（a-1）+1（n≥2）

当n=1时，a=（a-1）+1=a.

所以数列{a}的通项公式为a=（-）（a-1）+1.

（2）证明：由（1）可知0＜a＜，故b＞0.

那么，b-b=a（3-2a）-a（3-2a）

=（）•（3-2×）-a（3-2a）

=（a-1）.

又由（1）知a＞0且a≠1，故b-b＞0，

因此b＜b，n为正整数.

命题2：在数列{a}中，a、a均已知，当n≥3时，a=pa+qa，（p，q为非零常数）则该方程x=px+q为数列{a}的二阶特征方程，其根x，x（x，x均不为零）称为特征根，此时有以下结论：

（1）当x=x时，有a=［a+（n-1）d］x；

（2）当x≠x时，有a=cx+cx.

其中c，c，d由初始条件中a，a来确定.

由以上命题可知，对于递推关系形如a=pa+qa，（p，q为非零常数）的数列可以通过解特征方程x=px+q，构造等比数列{a-xa}，把问题转化为命题1的形式求数列的通项公式.

例2：已知数列{a}中，a=0，a=1，且n≥3时，a=2a-a，求a.

解：数列{a}的特征方程为x=2x+1，特征根为x=x=1.

所以a=［a+（n-1）d］x

=a+（n-1）d，

将a=0，a=1代入上式得d=1，

所以a=n-1，

于是a=2007.

例3：已知数列中，a=a=1，且a＞2时，a=a+a，求数列{a}的通项公式.

解：由特征方程x=x+1解得

x=，x=

x≠x

通项a=c（）+c（）

把a=a=1代入上式得

c=-，c=

于是a=［（）-（）］.

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