椭圆与双曲线――奇妙的类比

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇椭圆与双曲线――奇妙的类比范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

学习了椭圆与双曲线的定义与性质之后，我们发现，两者在定义、标准方程的形式、几何性质及其研究的方法等方面都存在很多相似之处，椭圆的很多性质都可以类比到双曲线上。本文研究两种曲线的几个有趣的性质，从中领会类比的方法，感受两种曲线的和谐与统一。

注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。

一、内外之分

1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。

证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。

上述性质类比到双曲线上，即可得到：

设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。

本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。

二、正余有别

1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上

除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|

cosθ=4c2 （2）

（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，

上述性质类比到双曲线上，即可得到：

设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积

本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。

三、对立统一

1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有

（其中e为离心率）。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：

整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线

交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。

本题结论中，椭圆与双曲线性质的区别仅在于符号的正、负，但又都能表示为e2-1，可以说是既对立又统一。

以上问题的探究、结论的归纳总结，都是在类比的基础上得到，并且得到证明的。新课程标准把提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标之一提出，体现在教学内容的安排上，有选修1-2及2-2中的推理与证明，要求学生能结合已学过的数学实例和生活中的实例，利用归纳和类比等进行简单的推理，因此本文内容可作为运用类比方法的典型教学案例，引导学生去提出问题、进行探究，在探索中发现规律、掌握方法、培养思维能力。