例谈三角函数中的范围问题

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三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,同时它也是高考的必考内容,考查难度不大,把能得到的分都得到,是广大考生一直追求的境界,但往往事与愿违。我从实际教学中发现,三角函数中的很多题目都是在“范围”方面出错,教师应该在教学中引起重视。下面我就几个例子来具体谈一下三角函数中的范围问题。

一、数形结合,巧求范围

例1.求函数y=的定义域。

解法一:由题意知需2sinx+1≥0,即需sinx≥-。如图1,由正弦曲线知,在一个周期上[-,],符合条件的角的范围为[-,]。根据正弦函数的周期性,可知函数的定义域为[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

解法二:如图2,由三角函数线可看出,满足sinx=-的角可以是-、,而满足sinx≥-的角的终边必须在-、的终边的上方,再结合正弦函数的周期性可知,所求的定义域为[2kπ-,2kπ+],k∈Z。

例2.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0

解:由f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,可知f(x)的图像关于原点呈中心对称,把图像补全,再结合y=cosx的图像可知所求解集为(-,-1)∪(0,1)∪(,3)。

评析:例1可用两种方法从“形”的角度来解决问题,第一种方法是根据正弦曲线的图像特征,先找出在一个周期内的符合条件的角的范围,再根据周期性得到结论;第二种方法是利用三角函数线来找出角的范围。熟练掌握函数图像、三角函数线的画法和合理选择一个周期是解决问题的关键。例2的难点在于如何根据奇偶性把图像补全,如何把f(x)的图像和y=cosx的图像有机地结合起来。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合。作为一种数学思想方法,数形结合是高中数学中常用的重要的解题思想方法之一,它的特点是直观、形象、解题快捷,合理利用数形结合,对解题往往可以起到事半功倍的效果。

二、缩小范围,正确解题

例3.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α、β∈(0,π),求2α-β的值。

解:由两角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,

因为α、β∈(0,π),且tanα

所以α∈(0,)、β∈(,π),(2α-β)∈(-π,0)。

因为在(-π,0)上满足正切值等于1的角只有-,

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中,cosA=,sinB=,则cosC的值为

解:分∠B为钝角和锐角两种情况讨论:

(1)若B为锐角,则sinA=,cosB=,所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B为钝角,因为sinB=,又0

所以∠A>,从而∠A+∠B>π,不可能。

综上所述,cosC的值只能为-。

评析:由于三角函数是周期函数,即自变量与三角函数值是多对一的对应关系,所以,解三角问题时要特别注意确定角的实际变化范围,尽可能地缩小角的范围,否则会出现增解。在教学中,这两道题的错误率都很高,均涉及到范围的缩小问题,如例3中学生在求出tan(2α-β)=1后,往往没有注意到根据已有信息缩小范围,而是直接由题中所给范围得出(2α-β)∈(-π,2π),所以2α-β的值有三个,即、-、,从而出现增根。而例4难度则更大,更容易被学生所忽视,很多学生直接分∠B为锐角和钝角来解题,有一部分学生可能怀疑钝角的情形,却不会正确缩小范围,最终还是求出的两个结果,导致错误发生。

三、隐含条件,不容忽视

例5.设cosθ+sinθ=m,则使sinθ+cosθ>0的m的范围是

解:对sinθ+cosθ=m两边平方易得sinθcosθ=,

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)

另外,m=sinθ+cosθ=sin(θ+),所以-≤m≤……②

由①②得m的范围是(0,]。

评析:本题的解题关键是要把握住三点:一是正确对sinθ+cosθ进行因式分解;二是正确解不等式m(m-3)

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