一道课本探究题结论的应用
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中考数学试题中经常会出现求两线段和的最小值问题，同学们常常找不到解题的突破口，其实这类问题可利用几何对称知识，通过作对称点求最短距离来解决.
引例 如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？（义务教育课程标准实验教科书人教版八年级《数学》上册第42页探究）
图1
图2
如图2，取点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点C，点C即为所求.
事实上，若在l上另取一点C′，根据轴对称可知B′C＝BC，所以AC+BC＝AC+B′C＝AB′，而AC′+BC′＝AC′+B′C′＞AB′，由此证明了作图的正确性.
这一问题内涵丰富，解题过程蕴含着化折为直的思想、对称变换的思想.这里作对称变换的目的是将几条线段转换到同一条直线上，再利用“两点之间线段最短”这一公理使问题顺利解决.这一几何模型无论是在理论上还是在生产实践中都有其应用价值，现在就近几年出现的中考试题加以分析说明.
图3
例1 （2010湖北鄂州）如图3所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上， 点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA的最小值是
（ ）
A 210B 10
C 4D 6
解析 PD+PA的和是OB同侧的两定点D、A到OB上一点P的距离之和，由引例中几何模型可知，要求PD+PA的最小值，只须作D或A点关于OB的对称点，而由正方形的对称性可知A、C关于OB对称，这样连接DC，则DC即是PD+PA的最小值.由D点的坐标为（2，0），可得OD＝2.在RtODC中， CD=OC2+OD2=210.选A.
例2 （2010江苏淮安）（1） 观察发现：如图4（1），若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小.
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接A B′，与直线l的交点就是所求的点P.
再如图4（2），在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小.
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 .
图4（1）
图4（2）
（2） 实践运用：如图4（3），已知O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.
图4（3）
图4（4）
（3） 拓展延伸：如图4（4），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法.
解析 （1） 审题后发现要求BP+PE的最小值实质就是在高AD上求一点P，使得它到其同侧的两定点B、E的距离和最小.根据等边三角形是轴对称图形，可知B和C关于AD对称，所以CE就是BP+PE的最小值.由E是AB的中点可得BE＝1，且CEAB.在RtBCE中，根据勾股定理可得BP+PE的最小值为3.
（2） 深究题意后，不难发现其实质是在直径CD上求一点P，使其到同侧的两个定点A、B的距离和最小.如图5，作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD于点P，此时AP+BP就最短.因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AEB=15°.因为B关于CD的对称点为E，所以∠BOE=60°，所以OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以OAE为等腰直角三角形，所以AE=22.
图5
图6
（3） 如图6，找B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于点P即可.
例3 （2011广东深圳）如图7（1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图7（2），过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3） 如图7（3），在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使DNM∽BMD.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解析 （1） 由顶点C（1，4）、点B（3，0）即可求出抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.
（2） 此题的实质是求DG+GH+FH+DF的值最小.由题意不难发现点D、F为定点，故DF为定值，于是问题转化为求DG+GH+FH的值最小.注意到点D、F为两个定点，点G，H分别为对称轴和x轴上的动点，作F关于x轴的对称点I，则I在y轴上（如图7（4）），且HF＝HI. ①
通过计算可知点D与点E关于PQ对称，则GD＝GE. ②
因此，要使四边形DFHG的周长最小，只要使DG+GH+HF最小即可.
由图形的对称性和①、②，可知，此时DG+GH+HF＝EG+GH+HI，
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，
|EI|=DE2+DI2=22+42=25，DF+EI＝2+25，
从而所求四边形DFHG的周长最小为2+25.
（3） 如图7（5），由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使得DNM∽BMD，只要NMMD=MDBD即可，
即MD2＝NM·BD.
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得AMN∽ABD，
通过计算可得点T的坐标为32，154.
例4 （2011四川乐山）已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图8（1），设C、D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值.
解析 （1） 由顶点A（1，5）、点B（5，1）即可求出抛物线的解析式为：y=-14(x-1)2+5.
（2） 此题要使四边形ABCD周长最小，也就是AB+BC+CD+AD 的和最小，而点A、B为定点，AB为定值，故只要BC+CD+AD的和最小.点C、D分别为x轴和y轴上的动点.如图8（2），过点A作关于y轴的对称点A′， 过点B作关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点C， 交y轴于点D，则点B′、C、D、 A′在同一条直线上，故点C，D即为所求，也就是此时DA+CD+BC＝DA′+CD+B′C最小.此时四边形ABCD的周长最小，最小值为A′B′+AB.而A′B′=(5+1)2+(1+5)2=62，AB=(5-1)2+(1-5)2=42，A′B′+AB=102.
综上所述，许多中考题都可以从课本中找到原型，因此，在平时的学习中要认真研究课本习题，充分利用课本中的基本题型进行变式和拓展，那么你从中获得的不仅是数学解题能力的提升，更是数学思维能力的提高.