相关点法的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇相关点法的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：相关点法是高中数学学习中的一种常用方法，但是在高二的解析几何中才被提出的。这让学生的思维受到极大的定性，认为只有在解析几何中求轨迹方程才用到，而没有对相关点法的实质有深刻的认识与理解，本质上相关点法是研究图象上点与点之间的一一对应关系的方法，抓住点与点之间的数量关系及其内在联系，可将几何语言转化为代数坐标、方程语言，代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法。

关键词：数学教学；相关点法；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）11-0121

相关点法是高中数学学习中的一种常用方法，但它是在高二的解析几何中才被提出的，这让学生的思维受到极大的定性，认为只有在解析几何中求轨迹方程才用到，而没有对相关点法的实质有深刻的认识与理解，本质上相关点法是研究图象上点与点之间的一一对应关系的方法，抓住点与点之间的数量关系及其内在联系，可将几何语言转化为代数坐标、方程语言，代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法。下面通过一些实例加以说明。

一、求轨迹方程

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

则由M为线段AB中点，可得

即点B的坐标可表为（2x-2a，2y）

【点评】相关点法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。

二、函数中的对称问题

（1）若g（x）与f（x）的图象关于直线x=-1对称，则g（x）的解析式为 .

（2）若g（x）与f（x）的图象关于点（1，2）对称，则g（x）的解析式为

.

解：（1）设A（x，y）为函数上y=g（x）任意一点，则点A关于x=-1的对称点B（-2-x，y）在函数上y=f（x）则有y=f（-x-2）即

（2）设A（x，y）为函数上y=g（x）任意一点，则点A关于点（1，2）的对称点为B（2-x，4-y）

证明：设（x，y）为图象上任意一点，则其关于x=1的对称点可求得：（2-x，y），于是根据函数关系有：y=f（x）=f（2-x），又因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，故有：f（x）=f（-x），因此结合上式有：f（x）=f（-x）=f（2-x），故由f（-x）=f（-x+2）知：y=f（x）是周期函数，T=2。

例4. （1997年高考文）设y=f（x）是定义在R上的函数，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于（ ）

A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称

C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称

解：可设（x1，y）为y=f（x-1）上任意一点，则有y=f（x1-1）；

若（x2，y）为y=f（1-x）上一点，也有y=f（1-x2），一般地，由f（x1-1）=f（1-x2）可知：x1-1=1-x2，所以■=1，即（x1，y）与（x2，y）关于直线x=1对称，故选D。

总结：判断两个函数图象间的关系，就是判断两个函数图象上的相关点的位置关系，即判断两个任意相关点间的位置关系.

三、解析几何中的对称问题

例5. （1998年高考理）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1

（I）写出曲线C1的方程；

（I）解：曲线C1的方程为：y=（x-t）3-（x-t）+s

所以x1=t-x2，y1=s-y2

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

s-y=（t-x2）3-（t-x2）

即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s

可知B2（x2，y2）点在曲线C1上

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。

四、图象的平移问题

A. 2x-2+2 B. 2x-2-2 C. 2x+2+2 D.2x+2-2

解：设函数y=f（x）图象上任意一点为A（x，y），则通过变换方式可得点A的相关点B（x-2，y-2）在函数y=2x的图象上所以有y-x=2x-2，整理得：y=2x-2+2，所以f（x）=2x-2+2，所以选A。

例7. 若f（x）函数的图象可由函数y=lg（x+1）的图象绕坐标原点逆时针旋转90°得到，则f（x）的解析式是（ ）。

A. 10x-1 B. 1-10x C. 1-10-x D. 10-x-1

解：设函数y=f（x）图象上任意一点为（x，y），则点A的相关点即点A关于原点顺时针旋转90°的点B（-y，x）在函数y=lg（x+1）的图象上，所以有x=lg（-y+1）

把y解出得y=1-10x，所以f（x）=1-10x，所以选B。

从以上几个方面的研究可以发现，抓住了图象对称、变换、主动点与被动点的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题。这一点从以上的几个例子可以感觉到，实际上函数中的对称与解析几何中的对称是相通的。因此，相关点法完全可以加以推广，实现方法共享。

（作者单位：广西崇左市宁明县宁明中学 532500）