赫兹振子势方程的求解

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇赫兹振子势方程的求解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要:在电磁场辐射问题中，矢量场E和H不易直接求出，大多数情况下需先计算出矢势A和标势φ.以赫兹振子为例，采用达朗贝尔公式解出了矢势A和标势φ.

关键词:电磁辐射；推迟势；矢势；标势

中图分类号:O44

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)01-0049-03

Solving the Potential Equations of Hertzian Oscillator

LIU Hanzhe

（School of Electrical and Information Technology, Yunnan University of Nationalities，Kunming 650031，China）

Abstract:

In electromagnetic radiations, vector fields E and H cannot be directly solved, and in most cases, vector and scalar potentials A and φ must be solved first. This paper takes Hertzian Oscillator as an example and obtains its vector and scalar potentials A and φ by solving DAlembert equations.

Key words:

electromagnetic radiation; retarded potential, vector potential; scalar potential

电磁辐射可以认为是由随时间变化的电流源或电荷源引起的.若已知电流和电荷随时空的变化， 要直接计算电场强度E和磁场强度H随时空的分布是十分困难的.往往需要计算出矢势和标势随时空的分布A（r,t）和φ(r,t).因此可从一个较典型的模型――赫兹振子出发，通过求解矢势A的达朗贝尔方程，得出其解析解，再利用洛伦兹规范直接求得标势φ的解.

1 达朗贝尔方程

电磁辐射是由随时间变化的电流J（r,t）和电荷ρ（r,t）产生的，真空中矢势 A（r,t）和标势φ(r,t) 与电流J

而式（4）、（5）也就是我们熟悉的推迟势的表达式，描述了场与源在时间上的推迟效应.

2 振荡电偶极子的势函数

从（4）式和（5）式可看出，矢势 A（r,t）和标势φ(r,t) 的解完全取决于电流J（r,t）和电荷ρ（r,t）的分布.但一般情况下，电流和电荷随时空的分布较为复杂，因此以赫兹振子即振荡电偶极子为例，求解（4）式.

所谓赫兹振子，就是振荡的电偶极子，其偶极矩P = ql，这里q随时间的变化关系为q =q0eiωt，l的大小为构成这一电偶极子的正负电荷之间的距离，方向从负电荷指向正电荷.为方便计算，假设电偶极子沿Z轴放置.如图2所示.

其中P(t) = ql = q0eiωtl=P0eiωt,假设电磁波的波长λ＞＞l，λ=2πc/ω，则T=2π/ω＞＞l/c.这就是说信号从偶极子的一端传到另一端所需的时间远小于电偶极子的振荡周期.电流I=dq/dt=iωq0eiωt在近场近似（即l＜＜λ）下，电标势φ的分布容易算出，其结果为［4］:

φ(r,t) =14πε0×P•RR3.(6)

现求解远场情况下矢势A的解.

可将（3）式用源点位矢和场点位矢表达出：

A(r,t) = μ04π∫J(r′, t-r-r′c)r-r′ dτ′ .（7）

对于远场情形，即r＞＞λ＞＞l条件下，r′可用Z代替，而1R=1r-r′≈1r，

（7）式变为:

A(r,t) ≈ μ04π×1r∫J(r′, t－rc)dτ′.（8）

（8）式是对电偶极子构成的电流圆柱体的体积分，dτ′=dsdz，将（8）式中的电流密度矢量J用电流强度I表示，即：

J（r′,t-rc）dτ′=eZI(Z,t-rc)dsdτ′=eZI(Z,t-rc)dsdsdz=eZI(Z,t-rc)dz.

于是矢势A(r,t)可表达如下：

A(r,t) = μ04πr∫l2－l2I(Z,t－rc) eZdz=μ04πrlI(t-rc)eZ.（9）

由（9）式可看出，矢势A(r,t)沿Z轴正向，与P的方向一致.在如图（2）所示的直角坐标系下，将A(r,t)分解在X，Y，Z 3个方向上，

A(r,t) =AXeX+AYeY+AZeZ

因为AX =AY=0，而A(r,t) = AZ（r,t）= μ04πrlI(t-rc)eZ.（10）

将（9）式中的电流I用电量q表示，就可将（9）式改写为：

AZ（r,t）= μ04πrliωq0eiω(t－rc)eZ.（11）

（10）式反映了电荷与矢势A的关系.

注意到电流与电荷的关系I= dq/dt = iωq0eiωt，以及电偶极矩p 的大小对时间的一阶导数注意到p•=iωp；波数k=ωc，于是（11）式可最终表示为:

A(r,t) = AZ（r,t）= μ04πp•e－ikr1reZ（12）

3 标势φ(r,t)的计算

至此已经计算出远场近似下矢势A(r,t)，根据(3)式，即洛伦兹规范•A = －1c2φt，就可以避开φ(r,t)所满足的达朗贝尔方程（2）式的求解.将（12）式代入直角坐标系下散度的表达式，可得到A的散度：

•A=AzZ=μ04πP•(Zr3+

ikr2)e-ikr=-μ04πPt(Zr3+ikr2)e-ikr.

将洛伦兹规范•A = －1c2φt与上式比较，并注意到μ0ε0=1c2，不难得出：

φ(r,t) = 14πε0p(t)（Zr3e－ikr+Zr2ike－ikr）.(13)

由于P(t) = q0l eiωt = P0eiωt，

则p(t)e－ikr= q0leiω(t－rc)=lq(t－rc)，

而 ikp(t)e－ikr= iωclq0eiωte －ikr= lcI(t-rc).

最后，标势φ(r,t)用电荷与电流表达出来：

φ(r,t)=l4πε0［Zr3q(t-rc)+Zcr2I(t-rc)］.(14)

4 讨论

到此，已将赫兹振子在远场近似下的矢势和标势全部求解.（10）式给出的是矢势A与电流的关系；（11）式则为A与电荷的关系.（11）式将A用电偶极矩表达出来.同理（13）式为标势φ与电偶极矩的关系；（14）式为标势φ与电荷和电流的关系.这就得到了矢势和标势与电荷源和电流源的关系.而且矢势和标势与电流源和电荷源在时间上相比，都一致滞后r/c，这一结果与推迟势的含义是完全一致的.

参考文献:

［1］郭硕鸿. 电动力学［M］.2版.北京：高等教育出版社, 2005.

［2］JACKSON J D.Classical electrodynamics［M］.3版.北京：高等教育出版社，2005.

［3］CHOW T L. Introduction to electromagnetic theory ［M］.Canada:Jones and Bartlett, 2005.

［4］王剑华，李康. 低速Dyon粒子电磁辐射的双矢势对偶理论［J］.浙江大学学报：理学版，2003,30（3）:271-273.

［5］刘涵哲.时变电磁场标量位亥姆霍兹方程的求解［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2008,17（2）:164-166.