专题六 立体几何与空间向量(2)

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一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 如图，在空间四边形[ABCD]中，[M]，[G]分别是[BC]，[CD]的中点，则[MG-AB+AD]等于（ ）

A. [3MG] B. [32DB]

C. [3GM] D. [2MG]

2. 如图所示，在空间四边形[ABCD]中，[E]，[F]分别为边[AB]，[AD]上的点，且[AE∶EB=][AF∶FD=1∶4，]又[H]，[G]分别为[BC]，[CD]的中点，则（ ）

A. [BD∥]平面[EFGH]，且四边形[EFGH]是矩形

B. [EF∥]平面[BCD]，且四边形[EFGH]是梯形

C. [HG∥]平面[ABD]，且四边形[EFGH]是菱形

D. [EH∥]平面[ADC]，且四边形[EFGH]是平行四边形

3. 如图，正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]，[F]分别为棱[AB]，[CC1]的中点，在平面[ADD1A1]内且与平面[D1EF]平行的直线（ ）

A. 有无数条 B. 有2条

C. 有1条 D. 不存在

4. 已知正四面体[A-BCD]，设异面直线[AB]与[CD]所成的角为[α]，侧棱[AB]与底面[BCD]所成的角为[β]，侧面[ABC]与底面[BCD]所面的角为[γ]，则（ ）

A. [α>β>γ] B. [α>γ>β]

C. [β>α>γ] D. [γ>β>α]

5. 已知正四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=2]， [CC1=22]，[E]为[CC1]的中点，则直线[AC1]与平面[BED]的距离为（ ）

A. 2 B. [3] C. [2] D. 1

6. 如图，正四棱锥[O-ABCD]的棱长均为1，点[A]，[B]，[C]，[D]在球[O]的表面上，延长[CO]交球面于点[S]，则四面体[A-SOB]的体积为（ ）

A. [24] B. [26] C. [212] D. [312]

7. 如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

[2][俯视图] [1] [1][正视图][侧视图] [1] [1]

A. [（2+2）π] B. [2+22π+3]

C. [（3+2）π] D. [3+22π+3]

8. 已知正方形[ABCD]的边长为[22]，将[ΔABC]沿对角线[AC]折起，使平面[ABC]平面[ACD]，得到如图所示的三棱锥[B-ACD]. 若[O]为[AC]边的中点，[M]，[N]分别为线段[DC]，[BO]上的动点（不包括端点），且[BN=CM]. 设[BN=x]，则三棱锥[N-AMC]的体积[y=f（x）]的函数图象大致是（ ）

[1][1][2] [1][1][2] [1][1][2] [1][1][2] [A B C D]

9. 如图所示，正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为1，线段[B1D1]上有两个动点[E]，[F]，且[EF=22]，则下列结论中错误的是（ ）

A. [ACBE]

B. [EF∥]平面[ABCD]

C. 异面直线[AE]，[BF]所成的角为定值

D. 三棱锥[A-BEF]的体积为定值

10. 四棱锥[P-ABCD]的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，[E]，[F]分别是棱[AB]，[CD]的中点，直线[EF]被球面所截得的线段长为[22]，则该球的表面积为（ ）

[a] [a] [侧视图][正视图][俯视图] [a] [a] [a]

A. [9π] B. [3π] C. [22π] D. [12π]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 如图，线段[OA]在平面[xOy]中，它与[x]轴的夹角为[45°]，它的长为[22]，则[OA]的直观图[OA]的长为 .

12. 已知[O]点为空间直角坐标系的原点，向量[OA=（1，2，3）]，[OB=（2，1，2）]，[OP=（1，1，2）]，且点[Q]在直线[OP]上运动，当[QA?QB]取得最小值时，[OQ]的坐标是 .

[ ]13. 如图，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，各棱长均为2，[AA1]底面[ABC]，[D]为棱[AB]的中点，则点[C1]到平面[A1DC]的距离为 .

14. 设[α，β，γ]为彼此不重合的三个平面，[l]为直线，给出下列命题：①若[α∥β，αγ]，则[βγ]；②若[αγ]，[βγ]，且[α?β=l]，则[lγ]；③若直线[l]与平面[α]内的无数条直线垂直，则直线[l]与平面[α]垂直；④若平面[α]内存在不共线的三点到平面[β]的距离相等，则平面[α]平行于平面[β]. 其中，真命题的序号为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 如图，三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AA1]平面[ABC]，[BCAC]，[BC=AC=2]，[AA1=3]，[D]为[AC]的中点.

（1）求证：[AB1∥]平面[BDC1]；

（2）求二面角[C1-BD-C]的余弦值；

（3）在侧棱[AA1]上是否存在点[P]，使得[CP]平面[BDC1]？并证明你的结论.

[ ]

16. 正三角形[ABC]的边长为4，[CD]是[AB]边上的高，[E]，[F]分别是[AC]，[BC]边的中点，现将[ΔABC]沿[CD]翻折成直二面角[A-DC-B].

（1）试判断直线[AB]与平面[DEF]的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角[E-DF-C]的余弦值；

（3）在线段[BC]上是否存在一点[P]，使[APDE]？证明你的结论.

17. 如图，[AC]是圆[O]的直径，点[B]在圆[O]上，[∠BAC=30°]，[BMAC]交[AC]于点[M]，[EA]平面[ABC]，[FC∥EA]，[AC=4]，[EA=3]，[FC=1].

（1）证明：[EMBF]；

（2）求平面[BEF]与平面[ABC]所成的锐二面角的余弦值.

[ ]

18. 在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是直角梯形，[AB∥CD]，[∠ABC=90°]，[AB=PB=PC=][BC=2CD]，平面[PBC]平面[ABCD].

（1）求证：[AB]平面[PBC]；

（2）求平面[ADP]与平面[BCP]所成的二面角（小于[90°]）的大小；

（3）在棱[PB]上是否存在点[M]使得[CM∥]平面[PAD]？若存在，求[PMPB]的值；若不存在，请说明理由. [ ]