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【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题,利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性,用扰动能量法证明了解的衰减性。
【关键词】非线性波动方程 初边值问题 整体解 衰减估计
一、 引言及主要结论
本文讨论如下初边值问题:
的整体广义解的存在性及衰减性,其中是空间中具有光滑边界的有界域。
我们用Galerkin方法证明问题(1)―(4)的整体广义解的存在性和唯一性,用扰动能量法证明解的衰减性,主要结论为:
定理 假定
(A4)h是非负有界的二次连续可微的实值函数,满足且对某个,当时,有和.其中为正常数。
在F1上满足相容性条件.其中
则对任意的T>0,问题(1)―(4)存在至少一个整体广义解
若令(A2)中的p=1且和(A1)中的β充分小,则存在正常数c和γ,使得
此外,若f1Lipschitz连续,则解是唯一的。
二、定理的证明
设是空间的一组标准正交基,使得.作问题(1)―(4)的近似解
据Galerkin方法,满足下列常微分方程组的初值问题
据常微分方程的一般理论,问题(5)―(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明uk(t)能被整体延拓到[0,+∞)上.
第一个估计
将方程(5)中的wj换成uk(t),并在(0,t)上积分,得到
由假设(A3),Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理,得到
合并(7),(8),选η充分小,利用Gronwall不等式即得第一个估计
其中L1是不依赖于k∈N和t∈[0,T]的正常数。
第二个估计
首先估计ukttn(0)的L2范数,易得uktt≤L2.其中L2是一个不依赖于k的正常数.接下来,对(5)式两边关于t求导一次,而后将其中的wj换为uktt得到
对上式左边第一项进行估计,可得
在(0,t)上积分(9)式,,得到
类似(8)的做法,,可以得到
合并(10)、(11),选η充分小,利用Gronwall引理得到第二个估计
其中,L3是一个不依赖于k∈N和t∈[0,T]的正常数。
非线性项的分析
利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.
由第一个估计和假设(A1)可知,存在函数,使得
利用广义格林公式,由(5)得到
由于Δu∈L2()),从而有
再利用广义格林公式,由(13)和(14)得到
由于
接下来,把(5)中的wj换为 uk并在(0,T)上积分,得到
对上式两边取极限得到
合并(14)、(15)和(16),利用广义格林公式得到
由假设(A1)得到
利用Lions引理即得(12).
惟一性
设u1和u2是问题(1)-(4)的两个解,则z=u1-u2满足
在(17)中令w=zt(t),由假设(A2)、(A3)可以得到
其中,λ来自于不等式
另一方面,由f1lipschitz连续和假设(A1)可知,存在常数C使得
在(0,t)上积分(18)得到
利用Gronwall引理,由上式即得.
惟一性得证.
能量的一致衰减
由(1)得到
(19)
若令(A2)中的P=1,则存在正常数δ1和δ2,使得(20)
考虑到假设(A1),由(19),(20)得到
(21)
注意到h(0)=0简单的计算易知
(22)
其中
定义修正能量
(23)
假定
(24)
其中λ>0来自于不等式则由(23),(24)可得
(25)
因此,E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.
接下来,由(21),(22),(23),(25)及假设(A4)得到
定义扰动能量.其中.不难证明,存在正常数C1>2,C2>0使得(26)
和(27)
综合(26),(27)可得
其中,C,λ为正常数.证毕.
参考文献:
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[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term,J.Math.Anal.Appl.1997,58,336-343.
基金项目:河南省自然科学基金资助项目,编号0211010500.
(作者单位:河南财经学院信息学院)
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”