变破产下限双poisson风险模型的破产概率
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摘 要:研究了双poisson风险模型在假定变破产下限时的破产概率,得出破产概率所满足的不等式,当破产下限f(t)为线性函数时,破产概率所满足的不等式或解析式。
中图分类号:F22
文献标识码:A
文章编号:1672-3198(2010)05-0154-01
1 引言
在经典的风险模型中,保险公司按照单位时间常数速率取得保单(假定每张保单的保险费相同).但在实际生活中,不同单位时间内所收取的保单数往往不一样,是一个服从某一离散分布的随机变量。根据实际情形,可将经典的风险模型推广到双poisson风险模型。
定义 设u≥0,c>0在给定概率空间(,F,P)上:
(1)Y=YK:k=1,2,3,…是取值于(0,∞)内的独立同分布随机变量;
(2)参数分别为α>0,β>0的poisson过程M=M(t):t≥0和N=N(t):t≥0;
(3)Y、M和N相互独立,
令
R1(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Yk,t≥0
则称过程R1(t):t≥0为双poisson风险模型.其中u表示保险公司的初始资本,c表示每张保单的保险费,M(t)表示保险公司在(0,t)时间内收到的保单总数,N(t):t≥0表示理赔到达过程,Yi表示第i次理赔量,R1(t)表示保险公司在时刻t的盈余。
在实际保险业务中,保险公司不会到破产盈余为零时才调整政策或宣布破产,当盈余低于某一限度时,就调整政策,称这一限度为破产下限,假定破产下限为时间t的函数,记为f(t),一般情况f(t)≥0。
则可以定义新模型:
R(t)=u+cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t)(1)
其中Tu=inft|R(t)
令
S(t)=cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t)
假定E[S(t)]>0(为了保证保险公司的稳定经营)。
令
h(r)=∫∞0erydF(y)-1,Ft=Fst∶t≥0,
Fst=σs(w):w≤t。
2 预备引理
引理1
Mu(t)=exp-ru+S(t)exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r))为Ft鞅,
证明
Eexp-rS(t))
=Eexp-r((cM(t)-∑N(t)k=1Yk-f(t))
=exprf(t)•Eexp-rcM(t)•Eexpr∑N(t)k=1Yk
=exprf(t)•expαt(e-cr-1)•expβth(r)
=exp{rf(t)+at(e-cr-1)+βth(r)}
对w≤t,
E[Mu(t)|Fws]
=Eexp-r(u+S(t))exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)Fws
=Eexp-r(u+S(w))exprf(w)+aw(e-cr-1)+βwh(r)•
[JP2]exp-r(S(t)-S(w))expr(f(t)-f(w)+α(t-w)(e-cr-1)+λ(t-w)h(r)
|Fws=Mu(w)
3 主要结果
定理1 破产概率满足不等式:
ψ(u)≤e-ru•H(r)
其中H(r)=supt≥0exprf(t)+αt(e-cr-1)+βth(r)
证明 设t0
expru=Mu(0)=EMu(Tu∧t0)
=EMu(Tu∧t0)|Tu≤t0pTu≤t0+
EMu(Tu∧t0)|TR>t0pTu>t0
≥EMu(Tu∧t0)|Tu≤t0pTu≤t0
=EMu(Tu)|Tu≤t0pTu≤t0
(2)
则
pTu≤t0≤
exp-ruEMu(Tu)|Tu≤t0
因
EMu(Tu)|Tu≤t0≥
Eexp-rf(Tu)+αTu(e-cr-1)+βTuh(r)|Tu≤t0
≥
inf0
则
pTu≤t0=e-rusup0
两边取期望且令t0∞得:ψ(u)≤e-ru•H(r).
定理2 在模型(1)中,当f(t)=a+b(t),a、b为常数时,
(a)破产概率满足不等式
ψ(u)≤e-R(u-a)
其中R为rb+α(e-cr-1)+βh(r)=0的正解;
(b)破产概率满足
ψ(u)=e-R(u-a)Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu
其中S(t)=cM(t)-bt-∑N(t)k=1Yk,R为rb+α(e-cr-1)+βh(r)=0的正解。
证明(a)当f(t)=a+bt时,模型(1)可写为:
R(t)=(u-α)+cM(t)-bt-∑N(t)k=1Yk
证明过程类似定理1
(b)在(2)式中令r=R,
e-R(u-a)=
Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu≤t0pTu≤t0+
Ee-R(u-a+S(t0))Tu>t0pTu>t0(3)
以IA表示集合A的示性函数有
0≤Ee-R(u-a+S(t0))|Tu>t0pTu>t0
=Ee-R(u-a+S(t0))ITu>t0
≤Ee-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0
因0≤e-R(u-a+S(t0))Iu-a+S(t0)≥0≤1,且当t0∞时,u-a+S(t0)∞,
由控制收敛定理得
limt0∞Ee-R(u-a+S(t0))|Tu>t0pTu>t0=0
在(3)式两端令t0∞得
ψ(u)=e-R(u-a)Ee-R(u-a+S(Tu))|Tu