跨越三角函数的羁

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇跨越三角函数的羁范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

三角函数是函数理论的重要组成部分，它不仅具备一般函数的特点：概念抽象、表示高度形式化、内容繁多、渗透的数学思想丰富、与其他数学知识联系紧密，而且还具有自身所独有的特点，如公式众多、变换灵活等，因此需要记忆和理解的东西也很多. 不少同学觉得这部分内容掌握起来比较困难，原因就在于没有抓住三角函数的本质特征，没有体会到它的函数思想. 笔者现对同学们学习三角函数时的五种症状进行分析，有针对性地提出解三角函数题的突破方法.

症状一 ＞＞

忽视隐含条件的挖掘

表现思维不严谨，经常忽视隐含条件，导致解题失误（如求角的值时，通常把角的范围搞错，出现漏解或增解的情况），久而久之便对解数学题产生抵触情绪.

症结只顾运算，不善于归纳总结题型，从而忽视了对隐含的约束条件的挖掘.

突破之道在审题时一定要对隐含条件进行充分挖掘（如在解决三角函数求值问题时，尽可能把角的范围缩小一些），思维要严谨，养成正确的解题习惯，这样才能做到准确无误.

例1已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，若α，β∈

－

，，则α＋β＝（）

A. B. 或－

C. －或 D. －

解析：根据题意及韦达定理有tanα＋tanβ＝－3，且tanαtanβ＝4，可得tanα＜0，tanβ＜0，所以α，β∈

－，0，α＋β∈（－π，0）. 又tan（α＋β）＝＝＝，所以α＋β＝－，故答案为D.

缺乏观察能力

表现当已知量和未知量涉及多个角时，不知从何处下手.

症结观察能力不强，且代数式的恒等变形能力较弱.

突破之道平时要加强观察能力的培养，解题时要充分寻找角与角之间隐含的关系，并对已知式和欲求式进行恰当的变形，构造出能利用三角公式的式子.

例2已知0＜α＜，＜β＜，sin

求：（Ⅰ）sin（α＋β）；

（Ⅱ）sin（α－β）.

解析：因为0＜α＜，所以＜＋α＜，由sin

只顾后，不瞻前

表现当出现多个三角函数时，往往只注意结论式子中三角函数的取值范围，将题设条件遗忘了.

症结解题时不够仔细，对相关性质的运用没能形成条件反射，这也是相关知识没有融会贯通的表现.

突破之道在求含有多个三角函数代数式的值域时，对已知条件和欲求代数式中出现过的三角函数的范围都要进行认真的计算，不留隐患.

例3已知sinx－siny＝，求z＝cos2y＋2sinx的最大值和最小值.

解析：由已知条件得sinx＝siny＋，代入z的表达式中得z＝1－sin2y＋ 2siny

＋＝－（siny－1）2＋，因为siny∈［－1，1］，且sinx∈［－1，1］，从而siny＋∈［－1，1］，所以siny∈－1，

. 所以当siny＝－1时，zmin＝ －；当siny＝时，zmax＝.

症状四 ＞＞

缺乏数形结合的意识

表现未能想到要根据文字语言、数学符号语言画出相应的数学图形，并且不善于在图形中寻找需要的信息.

症结不清楚三角函数及其有关方程与三角函数图象之间的紧密联系，缺乏数形结合的意识.

突破之道牢记“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非”（华罗庚语）的道理，培养文字、数学符号语言与图形语言之间相互转化的能力，自觉形成数形结合的思想意识.

例4若方程sinx＋cosx＝a在x∈［0，2π］上有两个不同的实根x1，x2，求a的取值范围及此时x1＋x2的值.

解析：利用方程的思想，a的取值范围即为函数y＝sinx＋cosx在x∈［0，2π］上与y＝a有两个交点时的范围，故只要作出函数图象，利用数形结合的思想即可解决问题.

设y＝sinx＋cosx＝2sinx＋

，x∈［0，2π］，在同一平面直角坐标系中作出y＝a与y＝2sinx＋

（其中x∈［0，2π］）的图象（如图1）. 从图象上可以看出，当1＜a＜2或－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程sinx＋cosx＝a在x∈［0，2π］上有两个不同的实根时a的取值范围是（1，2）∪（－2，1）. 又根据图象的对称性知，当1＜a＜2时，x1＋

＋x2＋

＝，故x1＋x2＝；当－2＜a＜1时，x1＋

＋x2＋

＝，所以x1＋x2＝.

[O][2][-2][][2π][y][x][1]

图1

症状五 ＞＞

公式的综合应用不灵活

表现面对众多的三角函数公式（如正弦定理、倍角公式、辅助角公式等），不知该如何选择，即使选了也不能对公式进行灵活的变形应用.

症结认为只要记住公式就行了，忽视了对公式应用条件的掌握，不知道该如何逆用和变形使用如此多的三角函数公式.

突破之道平时要有意识地对公式进行各种变形训练，掌握公式及其变形式子的结构特点和应用条件，这样在具体的数学情境中才能灵活地选择和应用公式.

例5在ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－.

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin2B

解析：（Ⅰ）在ABC中，sinA＝＝＝，由正弦定理＝，可得sinB＝sinA＝×＝.

（Ⅱ）因为cosA＝－，所以∠A为钝角，从而∠B为锐角，于是cosB＝＝，cos2B＝2cos2B－1＝，sin2B＝2sinBcosB＝，故sin2B

＋＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝.

例6已知函数f（x）＝－4cos2x＋ 4sinxcosx＋5（x∈R）.

（Ⅰ）求f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

解析：由于f（x）＝－4×＋2sin2x＋5＝2sin2x－2cos2x＋3＝4sin2x

（Ⅰ）当sin2x

－＝1时， f（x）取得最大值，这时2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z），所以使f（x）取得最大值时x的集合为｛x

x＝kπ＋，k∈Z｝.

（Ⅱ）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）得，kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为kπ－

＋（k∈Z）.