任意角的概念
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【课题】
中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学（基础模块）上册》第五章 第1课时
【课时】
1课时（45分钟）
【设计理念】
数学学习实质是对一个对原有知识不断优化完善的过程。因此，本课在问题与实例的引领下，使学生经历观察后，自然地完成回忆、思考、归纳等理性思维过程。在这一过程中，使问题得以解决和提升，旧知得以优化和完善，学生的观察能力、分析与解决问题能力得到加强。
【教学目标】
知识与技能：
1.了解角的概念的推广，知道正角、负角、零角的定义；
2.正确理解象限角、界限角的概念。
过程与方法：
1.通过实例共同完成角的概念的推广，培养学生分析与解决问题的能力；
2.平面直角坐标系中角的讨论，培养学生的观察能力，渗透数形结合思想。
情感态度与价值观：
1.通过对角定义完善的过程，让学生感受实际需要才是数学发展的原动力；
2.通过平面直角坐标系中角的研究，让学生知其然并知其所以然，从而达到培养学习数学的兴趣。
【重点难点】
重点：角的概念的推广以及象限角、界限角的概念
【重难点剖析】
任意角的概念，是一节以思维为主的数学概念课，本节课通过问题和实例的引领，激发学生的探究意识，进而引导学生纵向比较初中学的角的定义，横向比较负数的出现，使之自然地得到任意角的概念。
【教学方法及策略】
采用实例教学、启发式教学法。
【教学过程】
一、课程导入（约12分钟）
1.章头言
展示图片
师：是什么导致地球“春夏秋冬”四季更替呢？
预设：地球的公转。
师：地球的公转也可以近似地看成地球绕着太阳做？
预设：圆周运动。
师：我们这一章学习的三角函数就是用来研究这类圆周运动的重要数学工具。讲到三角函数，我们首先来讲讲角。
2.复习回顾
设计意图：通过对原有旧知的复习，为以下对角的概念的优化作好铺垫作用。
问题1：（1）我们学过哪些角？（请从小到大说）
预设：锐角，直角，钝角，平角，周角。
师：也就是我们一直在学习0°～360°的角。
问题1：（2）初中又是如何来定义“角”的？
预设：
（A）一点出发的两条射线组成的图形叫做角。（静态定义）
（B）一条射线绕着它的端点旋转形成的图形叫做角。（动态定义）
师：第一种是以形状来定义角，我们称之为静态定义；第二种用旋转来定义角，我们称之为动态定义。
问题1：（3）哪一种定义会更加符合我们的实际生活呢？
预设：A（或B）。
师：让我们在实际生活中去感知吧！
目标预测：用“角”直截了当地向学生展示课题，让学生从直观上唤回起对角的认识，然后延伸至回忆对角的概念的回忆。目的是让简单的问题唤起学生主动参与课堂的欲望，构造一个积极回答的课堂氛围。
3.实例引入
设计意图：在选择及优化概念的过程中让学生反思初中角的定义的局限性，从而激起扩充角定义的欲望，进而得出任意角的概念。让学生感受实际需要才是数学发展的原动力。
实例一：展示摩天轮。
师：现在大家说，哪一种定义会更加符合？
预设：B。
师：那我们今后说的角，一般就指旋转形成的角。那摩天轮会向我们展现怎样的数学问题呢？
实例一：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂（顺时针）转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈。那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？
预设：720°。
师：看来生活中的角已经超出了0～360°。那生活中还会有怎样的数学问题呢？
实例二：用活络扳手旋转螺母时，将扳手由OA旋松30°（逆时针）至OB位置时，或将扳手由OA旋紧30°（顺时针）至OC位置时，它们表示同一个角吗？
预设：（相同或不相同）。
师：换个问题：在初中，向东1米如果表示为+1，那么向西1米该如何表示？
预设：-1。
师：大家口中的正负是用来区别具有相反意义的两个量。那这里有相反意义的量吗？
预设：有。逆时针，顺时针。
师：那如何区别？
预设：+30°，-30°。
师：是的，这样我们就可以区别旋转产生的方向性问题了。
目标预测：用具体且丰富的实例向学生展示概念选择和优化的必要性，即范围超出了，出现方向性两问题；与此同时，借助用正负来表示具有相反意义的两个量，让学生自然地迁移到角的概念，并类比推广。
二、新课讲授（约28分钟）
1.任意角的概念
设计意图：通过纵向比较初中学的角的定义，横向比较负数的出现，让学生参与并体验新知的产生实质就是对原有旧知的优化与完善。
问题2：结合实例1、2，你能将角的定义补充完整吗？
师生共同完成：
（1）角的概念：一条射线由位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB形成的图形叫做角。旋转开始位置的射线OA叫做角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点。
（2）规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，当射线不作任何旋转时，这个角叫做零角。
师：角的概念经推广后，就囊括了正角、负角和零角。
问题3：（1）现在，你能正确表述实例1中的角了吗？
预设：-720°。
问题3：（2）你还能画出-720°这个角吗？
预设：…
结论：今后，回答（或画）一个角的时候，（1）判断角的正负（即旋转方向）；（2）角的旋转度量。这样，任意给我们一个角，我们都可以通过旋转将它画出来，因此，角的概念现在也叫任意角的
概念。
练习1：请估算出课本93页图5-3中的三个角？并写下来。（作业纸）
预设：∠AOB≈+120°；∠AOB≈+1125°；∠AOB≈-405°。
师：很好。但为了区别上述的三个角，我们一般用小写的希腊字母α、β、γ来表示，如：α≈+120°。
目标预测：学生在教师的引领下逐步优化、完善初中角的定义，以达到角的概念的推广，并学会从角的旋转方向和旋转度量两方面出发来正确地表示标出每一个角。
2.在平面直角坐标系中研究角
设计意图：通过质疑任意角的摆放，让学生思考、发现并接受在平面直角坐标系中表出角以及角的分类，让学生知其然并知其所以然。
师：到这里，我们已经学习了任意角，而任意角的学习是为任意角的三角函数服务的。回想初中，我们在哪里研究锐角的三角函数？
预设：直角三角形。
问题4：（1）能将上述的角摆进直角三角形吗？（三角形内角和为180°）
预设：不能。
问题4：（2）如果不，摆哪儿？想想看以前在哪里研究函数？
预设：平面直角坐标系。
师：那我们今后都在平面直角坐标系中研究角。
角的摆放：
问题5：（1）角的顶点O摆在哪？（2）角的始边OA呢？
预设：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合。
问题5：（3）角的终边OB呢？
预设：
师：不确定的东西往往又可以做文章了。
师生共同完成：
按终边OB位置分：如果角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就把这个角叫做界限角。
练习2：请在给定的图内建立平面直角坐标系，画出：
（1）30°、-60°、270°；（2）-240°、-330°、390°（作业纸）
预设：独立完成。
师：教室巡视并从中选择几个（有好有差）到黑板上进行作业展示。
问题6：（1）指出它们是第几象限角（或界限角）？
预设：（1）第一象限角、第四象限角、界限角；（2）第二象限角、第一象限角、第一象限角。
目标预测：学生在教师的引领下理解角在平面直角坐标系中的表出，并理解因终边的不确定导致的角的各个分类。与此同时，能在平面直角坐标系中作出具体的角，并会指出它属于哪个象限或是界限角。
3.思考
设计意图：通过对练习2的挖掘，为“终边相同的角”埋下
铺垫。
问题6：（2）第（2）部分中3个角为什么只显示2条终边？
预设：-330°与390°角的终边重合了。
问题6：（3）那与-330°、390°终边相同（或重合）的角还有吗？
预设：有。
问题6：（4）有几个？（你能再举几个例子吗？）
预设：无数个。比如，30°、750°等。
问题6：（5）你能用一个数学式子，表示出所有与-330°角终边相同（或重合）的角吗？
预设：…
师：时间关系，这就作为我们今天的家庭作业。
目标预测：借助具体角的图形让学生了解终边相同的角有无限个，同时问题分开，降低难度，供学有余力的学生通过讨论具体的角，找出规律，最终归纳出一般结论来。
三、小结与作业（约5分钟）
设计意图：引导学生养成积极总结的习惯，从而真正成为学习的主人。书面作业帮助养成复习、巩固所学知识；思考供学有余力学生作课后研究。
1.小结：我们今天要掌握的知识点有：
（1）正角、负角、零角的形成；
（1）象限角、界限角的概念。
2.作业：
（1）数学课本93页练习5.1.1；
（2）数学课课达标（第二册）第五章第一节；
（3）努力完成问题6：（5）你能用一个数学式子，表示出所有与-330°角终边相同（或重合）的角吗？
目标预测：用小结形式让全体学生再次熟悉本课的主要内
容，并借助课后作业使学生将所学知识真正落实至实处，使学有所用，使学习激情得以保温。
（作者单位 浙江省宁波经贸学校）