开篇:润墨网以专业的文秘视角,为您筛选了一篇陕西高考数学(理)20题解法赏析与探究范文,如需获取更多写作素材,在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享!
[摘要]新课改新高考需要教师充分利用和研究高考试题。对2013年陕西高考数学(理)20题多种解法的研究与赏析,可从多方面思考研究这类问题的一般规律。
[关键词]高考题;定点;圆锥曲线;切线;几何作图
[中图分类号]G623
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712(2013)32-0059-03
[作者简介]丁仕杰(1973―),男,湖南湘西人,福建省厦门市集美中学教师,中学一级。
一、试题再现
已知动圆过定点[WTBX]A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8。
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点。
问题(Ⅰ)由已知条件很容易求解出轨迹C的方程为y2=8x,过程略。
问题(Ⅱ)
(1)解法一
证明:设直线l的方程为y=kx+b,
(三)解法三
由于图形的对称性可知,如果定点存在,猜测定点一定在x轴上,
可设定点为(a,0),直线PQ方程为:x=my+a,
(四)解法四
如图,x轴是∠PBQ的角平分线,则过P作x轴的对称点P1必然在抛物线上,也在直线BQ上,过Q作x轴的对称点Q1必然在抛物线上,也在直线BP上,如果定点存在,则定点必然为直线PQ与P1Q1的交点,
二、分析思考
本题简洁朴实,难度不大,但方法多样,体现了命题者“多思少算”的命题思想,符合新课改的精神。解法一为常规解法,也是参考答案,消元后方程式比较复杂,对计算要求较高;解法二是典型的设而不求的解法,大大减少了运算;解法三结合图形特点先猜测后求解证明,是解决有关定值问题的常用手段,使用x轴上的截距式,也简化了运算;解法四把定点问题转化为两动直线的交点,让问题变得更为直接,有利于求解。
(一)问题思考一
如果点B运动变为(m,0),(m
(证明:设直线l的方程为y=kx+b,
(二)问题思考二
对于点B(m,0)(m0),其他条件不变,直线l是否过定点?(略证:
即b=km,故直线l的方程为y=k(x+m),直线过定点(-m,0))。
(三)问题思考三
这个定点到底有什么特殊的地方呢?
由解法四图可知BP1Q三点共线,极端情况,当P1与Q重合为一个点时,PQ与x轴垂直,此时,P,Q为过B点所作的抛物线的切点,令切线方程:y=k(x-m)
联立抛物线方程y=k(x-m)y2=2px得:k2x2+(2p-2kb)x+k2m2=0,方程有两个相等的实根,算得切点的横坐标为-m,原来定点是过切点作x轴垂线与x轴的交点。
结合解法四我们又得到过x轴上的一点B做抛物线y2=2px切线的一种快速的几何作图法(如图):在抛物线上任意取点Q,连接BQ交抛物线于P1,过P1作关于x轴的对称点P,分别连接PQ交x轴于点C,过C作x轴的垂线交抛物线于点M,N,连接BM,BN,则BM,BN就是抛物线过点B的切线,多么漂亮的抛物线切线的方法。
(四)问题思考四
如果曲线C改为椭圆,点B(m,0)在椭圆外部,设不垂直于x轴的直线l与曲线C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,直线l是否过定点?是否也能作出相应的切线?(结论可以证明是成立的),
即切点与定点有相同的横坐标。
对于双曲线,如果点B在两实顶点之间变化时,同样也有类似的结论存在。(限于篇幅,证明略去)
圆锥曲线综合问题的考查,是高考的必考内容,随着新课改的深入,从近年各省市的高考圆锥曲线的考查来看,难度稳中有降。我们深入研究圆锥曲线的高考题,就可以发现许多圆锥综合问题看似是由特殊位置构建的,但经常都蕴含着其本质与规律,正因如此,我们在进行圆锥曲线学习时,应该多反思这类圆锥曲线的“家族现象”问题,为解决此类问题提供更多的解题思路。[WTBZ]
参考文献:
[1]赵国藩.用“几何画板”作圆锥曲线的切线[J].数学学习与研究,2009(9).
[2]高慧明.2007年全国高考数学试题点评与展望[J].中学生数理化:高三版,2007(9).